111學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

答案(1) $8\sqrt{3}$ (2) $18+12\sqrt{2}$ (3) $\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ (4) $2\sqrt{10}$ (5) $-6$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   先想最簡根式

   「最簡根式」的意思是根號裡不能再藏完全平方因數，分母也不能留根號。所以這五小題收尾前都要檢查這兩件事。遇到加減，要先各自化簡成同類根式才能合併；遇到乘除，可以用 $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 先併成一個根號再化簡。
2. 2

   甲：先各自化簡

   把根號裡的數拆成「完全平方乘剩下的」：$\sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$。兩項都變成以 $\sqrt{3}$ 為單位的同類根式，這時才可以相加：$6\sqrt{3}+2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。所以第一格填 $8\sqrt{3}$。
3. 3

   乙：別漏中間項

   用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，取 $a=2\sqrt{3}$、$b=\sqrt{6}$。$a^2=(2\sqrt{3})^2=4\times 3=12$；$b^2=(\sqrt{6})^2=6$；中間項 $2ab=2\times 2\sqrt{3}\times\sqrt{6}=4\sqrt{18}=4\times 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}$。合起來得 $12+6+12\sqrt{2}=18+12\sqrt{2}$。所以第二格填 $18+12\sqrt{2}$。
4. 4

   丙：帶分數先化假分數

   $2\frac{1}{7}$ 是帶分數，等於 $\frac{15}{7}$；$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。乘除一起做，先把三個根號併成一個：$\sqrt{\frac{2}{5}}\times\sqrt{\frac{15}{7}}\div\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}\times\frac{15}{7}\times\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{60}{105}}=\sqrt{\frac{4}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$。分母還有根號，要有理化：$\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。所以第三格填 $\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
5. 5

   丁：配對相乘

   四項逐一展開：$\sqrt{6}\times\sqrt{15}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，$\sqrt{6}\times\sqrt{5}=\sqrt{30}$，$-\sqrt{2}\times\sqrt{15}=-\sqrt{30}$，$-\sqrt{2}\times\sqrt{5}=-\sqrt{10}$。中間的 $\sqrt{30}$ 與 $-\sqrt{30}$ 互相抵消，剩下 $3\sqrt{10}-\sqrt{10}=2\sqrt{10}$。所以第四格填 $2\sqrt{10}$。
6. 6

   戊：平方差公式

   兩個括號只差在 $3\sqrt{2}$ 前面的正負號，正好套 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，取 $a=-2\sqrt{3}$、$b=3\sqrt{2}$。$a^2=(-2\sqrt{3})^2=4\times 3=12$（負號平方後變正），$b^2=(3\sqrt{2})^2=9\times 2=18$，所以原式 $=12-18=-6$。所以第五格填 $-6$。

關鍵觀念：#根式化簡 #根式四則運算