111學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

答案$m=-8$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   倍式的意思

   說 $12x^2+mx-15$ 是 $2x-3$ 的倍式，意思就是 $2x-3$ 除得盡 $12x^2+mx-15$，換句話說 $2x-3$ 是這個二次式的一個因式。
2. 2

   用因式定理代值

   如果 $2x-3$ 是因式，那麼讓 $2x-3=0$ 的那個 $x$ 代進二次式，結果一定是 $0$——因為這時二次式等於「$(2x-3)\times$另一個因式」，前面那個括號已經是 $0$。（不放心的話可以跳到最後一步，那裡改用湊因式的方法算一次，答案一樣。）由 $2x-3=0$ 得 $2x=3$，所以 $x=\frac{3}{2}$。
3. 3

   代入解出 m

   代入：$12\times\left(\frac{3}{2}\right)^2+m\times\frac{3}{2}-15=0$。先算 $\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$，$12\times\frac{9}{4}=27$，式子變成 $27+\frac{3}{2}m-15=0$，即 $\frac{3}{2}m+12=0$，得 $\frac{3}{2}m=-12$，兩邊乘 $\frac{2}{3}$ 得 $m=-8$。
4. 4

   另一條路：湊因式

   也可以直接把它拆成兩個一次式相乘。首項 $12x^2$ 要由 $2x$ 乘上 $6x$ 得到，常數 $-15$ 要由 $-3$ 乘上 $5$ 得到，所以 $12x^2+mx-15=(2x-3)(6x+5)$。展開中間項：$2x\times 5+(-3)\times 6x=10x-18x=-8x$，對照原式即得 $m=-8$，和上面的算法一致。故 $m=-8$。

關鍵觀念：#因式定理 #多項式整除

同主題一起複習：多項式與方程式 →