112學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用對稱軸設出 A、C

   二次函數 $y=a(x-7)^2+12$ 的對稱軸是 $x=7$。水平線 $L$ 與圖形交於 $A$、$C$ 兩點，這兩點的 $y$ 值相同，所以它們對這條對稱軸左右對稱，到對稱軸的距離一樣。設這個距離為 $t$（$t>0$），則 $A$ 的 $x$ 坐標是 $7-t$，$C$ 的 $x$ 坐標是 $7+t$。
2. 2

   用 B 在 y 軸上算出兩段長

   $B$ 是 $L$ 與 $y$ 軸的交點，$x$ 坐標是 $0$。由圖可知 $A$ 在 $y$ 軸左邊，所以 $7-t<0$，也就是 $t>7$。$A$、$B$、$C$ 三點都在同一條水平線上，線段長就是 $x$ 坐標的差：$\overline{AB}=0-(7-t)=t-7$，$\overline{BC}=(7+t)-0=t+7$。
3. 3

   列比例式解出 t

   由 $\overline{AB}:\overline{BC}=1:6$ 得 $\dfrac{t-7}{t+7}=\dfrac{1}{6}$，交叉相乘得 $6(t-7)=t+7$，即 $6t-42=t+7$，$5t=49$，$t=\dfrac{49}{5}$。檢查一下：$\dfrac{49}{5}=9.8>7$，符合「$A$ 在 $y$ 軸左邊」的條件。
4. 4

   算出 AC

   $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}=(t-7)+(t+7)=2t=2\times\dfrac{49}{5}=\dfrac{98}{5}$。也可以直接看出 $\overline{AC}$ 就是 $C$ 與 $A$ 的 $x$ 坐標差 $(7+t)-(7-t)=2t$。注意整個過程完全沒有用到 $a$，$a$ 是多少都不影響結果。所以 $\overline{AC}=\dfrac{98}{5}$。

關鍵觀念：#二次函數 #線段比例 #水平線與函數交點

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