113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   倍式就是除得盡

   $x^{3}-2x^{2}+ax+b$ 是 $x^{2}-x-2$ 的倍式，代表拿 $x^{2}-x-2$ 去除它會整除、餘式為 0。先把除式分解：$x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$，於是 $(x-2)$ 與 $(x+1)$ 都是被除式的因式。
2. 2

   代 x 等於 2

   $(x-2)$ 是因式，代 $x=2$ 時整個式子要等於 0：$2^{3}-2\times2^{2}+2a+b=8-8+2a+b=0$，得 $2a+b=0$。
3. 3

   代 x 等於 -1

   $(x+1)$ 是因式，代 $x=-1$ 也要等於 0：$(-1)^{3}-2\times(-1)^{2}+a\times(-1)+b=-1-2-a+b=0$，整理得 $-a+b=3$。特別注意 $ax$ 代 $x=-1$ 會變成 $-a$，負號不能漏。
4. 4

   解聯立

   由 $2a+b=0$ 得 $b=-2a$，代入 $-a+b=3$：$-a-2a=3$，$-3a=3$，$a=-1$，再得 $b=-2\times(-1)=2$。
5. 5

   求 a 加 b

   $a+b=-1+2=1$，故選 (A)。可回頭驗算：$x^{3}-2x^{2}-x+2=(x^{2}-x-2)(x-1)$，確實整除。

關鍵觀念：#因式與倍式 #多項式除法

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