114學年鷺江國中第3次段考數學 第12題 詳解

答案$\dfrac{37}{5}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   抄下係數算判別式

   $5x^2-33x-14=0$ 的係數是 $a=5$、$b=-33$、$c=-14$，三個都要連同正負號抄下來。判別式 $b^2-4ac=(-33)^2-4\times 5\times(-14)=1089+280=1369$。特別注意 $c=-14$ 是負的，$-4ac$ 變成加上 $280$，不是減。
2. 2

   開根號後套公式解

   $1369$ 開得盡嗎？試算 $37^2=1369$，所以 $\sqrt{1369}=37$，是整數，代表這題其實也能因式分解。套公式解：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{33\pm 37}{10}$。這裡 $-b=-(-33)=33$，負負得正不要弄錯。
3. 3

   算出兩根並約到最簡

   取加號：$x=\dfrac{33+37}{10}=\dfrac{70}{10}=7$。取減號：$x=\dfrac{33-37}{10}=\dfrac{-4}{10}=-\dfrac{2}{5}$（分子分母同除以 $2$ 約分）。因為 $a>b$，所以 $a=7$、$b=-\dfrac{2}{5}$。驗算可用因式分解對照：$(x-7)(5x+2)=5x^2+2x-35x-14=5x^2-33x-14$，兩根確實是 $7$ 與 $-\dfrac{2}{5}$。
4. 4

   常見的符號失誤

   最容易出事的是 $-4ac$：把 $c=-14$ 的負號弄丟，判別式會算成 $1089-280=809$，而 $28^2=784$、$29^2=841$，$809$ 開不出整數，根式也化不成最簡，這時就該回頭檢查 $c$ 的正負。另一個是把題目問的 $a-b$ 看成 $a+b$，那會得到 $7+\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{33}{5}$，不是要的答案。
5. 5

   算出兩根之差

   $a-b=7-\left(-\dfrac{2}{5}\right)=7+\dfrac{2}{5}=\dfrac{35}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{37}{5}$。$37$ 是質數、與 $5$ 沒有公因數，$\dfrac{37}{5}$ 已是最簡分數。所以 $a-b=\dfrac{37}{5}$。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #公式解

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