114學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

答案(1) $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$ (2) $x=2$ (3) $x=8$ 或 $x=-2$ (4) $x=-1$ 或 $x=\dfrac{1}{2}$ (5) 無解看逐步解析 ↓

逐步解析

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   第一小題：提公因式

   $3x^2-8x=0$ 沒有常數項，兩項都含有 $x$，所以用因式分解法中的「提公因式」最快：$x(3x-8)=0$。由乘積為零得 $x=0$ 或 $3x-8=0$，後者解得 $x=\dfrac{8}{3}$。$8$ 與 $3$ 沒有公因數，$\dfrac{8}{3}$ 已經是最簡分數。所以 $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$。
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   第二小題：完全平方

   $x^2-4x+4=0$ 的常數項 $4=2^2$，一次項 $-4x=-2\times 2\times x$，正好符合完全平方公式，用因式分解法寫成 $(x-2)^2=0$。於是 $x-2=0$，得 $x=2$。這是重根，只有一個解，不要因為是二次式就硬湊出兩個答案。
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   第三小題：直接開平方

   $(x-3)^2=25$ 左邊已經是配方完成的形式，直接開平方就好：$x-3=5$ 或 $x-3=-5$。注意 $\sqrt{25}$ 要先化成整數 $5$，不能把答案留成根號。移項得 $x=8$ 或 $x=-2$。開平方時正負兩邊都要取，少寫負的那一支就會漏掉一個解。
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   第四小題：先排成一般式再十字交乘

   $1-x-2x^2=0$ 二次項係數是負的，先整理成習慣的形式：兩邊同乘 $-1$ 得 $2x^2+x-1=0$。用因式分解法（十字交乘）分成 $(2x-1)(x+1)=0$；乘回去檢查：$2x^2+2x-x-1=2x^2+x-1$，正確。所以 $2x-1=0$ 或 $x+1=0$，得 $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=-1$，$\dfrac{1}{2}$ 已是最簡分數。
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   第五小題：用判別式判定

   $-3x^2+4x-7=0$ 兩邊同乘 $-1$ 得 $3x^2-4x+7=0$。這個式子不好分解，改用公式解，先算判別式：$b^2-4ac=(-4)^2-4\times 3\times 7=16-84=-68$。因為 $-68<0$，公式解的根號裡會是負數，找不到這樣的實數，所以這一題無解。
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   整理五格答案

   (1) $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$；(2) $x=2$；(3) $x=8$ 或 $x=-2$；(4) $x=-1$ 或 $x=\dfrac{1}{2}$；(5) 無解。每一格都要交出最簡形式：$\dfrac{8}{3}$ 與 $\dfrac{1}{2}$ 都不能再約分；第三小題若寫成 $x-3=\pm\sqrt{25}$ 就停手會被扣分，$\sqrt{25}$ 必須化成 $5$；第五小題不能寫成 $x=\dfrac{4\pm\sqrt{-68}}{6}$，根號裡是負數就直接答無解。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #因式分解 #配方法 #公式解

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