111學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先分清楚誰比較長

   竹竿長 $x$ 尺。「竿長比門寬多 $8$ 尺」表示竿比較長、門寬比較短，所以門寬＝竿長減 $8$，也就是 $x-8$ 尺。「竿長比門高多 $1$ 尺」同理，門高＝$x-1$ 尺。橫著拿、直著拿都進不去，正好印證竿比門的兩邊都長。
2. 2

   斜著拿代表什麼

   「斜著拿，剛好通過門的對角線」這句話是關鍵：竹竿的長度剛好等於這扇長方形門的對角線長。所以對角線＝$x$ 尺。
3. 3

   用商高定理列式

   長方形的寬、高與對角線會圍成一個直角三角形，兩股分別是門寬 $x-8$ 與門高 $x-1$，斜邊是對角線 $x$。由商高定理「兩股平方和等於斜邊平方」：$(x-8)^2+(x-1)^2=x^2$，也就是 $x^2=(x-8)^2+(x-1)^2$。
4. 4

   解出來檢查合理性

   展開：$x^2-16x+64+x^2-2x+1=x^2$，整理得 $x^2-18x+65=0$，分解成 $(x-13)(x-5)=0$，$x=13$ 或 $x=5$。門寬 $x-8$ 必須是正數，所以 $x=5$ 要捨去，取 $x=13$。此時門寬 $5$ 尺、門高 $12$ 尺、對角線 $13$ 尺，檢查 $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，完全吻合。所以 $x$ 滿足的方程式是 $x^2=(x-8)^2+(x-1)^2$。故選 (D)。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #商高定理

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