113學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

逐步解析

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   先決定每題用哪一招

   解一元二次方程式有四種常用武器：式子已經是「兩括號相乘 $=0$」就直接讓每個括號為 $0$；有公因式就先提出來；整理後分解得開就因式分解；分解不開就用配方法或公式解 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。另外先提醒：這題的計分規則是分數與根式都要化到最簡、七小題全對才給分，所以每一小題算完都要再看一眼有沒有化簡完。
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   第1、2小題：直接分解

   (1) $(7x-2)(x+5)=0$ 已經是兩括號相乘等於 $0$，所以 $7x-2=0$ 或 $x+5=0$，得 $x=\dfrac{2}{7}$ 或 $x=-5$；$2$ 與 $7$ 互質，$\dfrac{2}{7}$ 已是最簡分數。(2) $2x^2-5x=0$ 兩項都有 $x$，提出公因式得 $x(2x-5)=0$，所以 $x=0$ 或 $2x-5=0$，即 $x=\dfrac{5}{2}$。千萬不可以兩邊同除以 $x$，那會把 $x=0$ 這個解丟掉。
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   第3小題：用公式解

   $-2x^2+11x-13=0$ 的二次項係數是負的，先兩邊同乘 $-1$ 變成 $2x^2-11x+13=0$。代公式，$a=2$、$b=-11$、$c=13$：$b^2-4ac=(-11)^2-4\times2\times13=121-104=17$，所以 $x=\dfrac{11\pm\sqrt{17}}{4}$。$17$ 是質數，$\sqrt{17}$ 已是最簡根式，分子分母也沒有公因數可約。
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   第4小題：展開再分解

   $(3x+2)(x+5)=16$ 右邊不是 $0$，所以不能直接讓括號等於某個數，必須先展開：$3x^2+15x+2x+10=16$，即 $3x^2+17x+10=16$，移項得 $3x^2+17x-6=0$。分解為 $(3x-1)(x+6)=0$（驗算：$3x\times x=3x^2$；交叉相乘 $3x\times6+(-1)\times x=18x-x=17x$；$(-1)\times6=-6$，三項都對）。故 $x=\dfrac{1}{3}$ 或 $x=-6$。
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   第5、6小題：開平方配方

   (5) $(2x-3)^2-11=0$ 移項得 $(2x-3)^2=11$，兩邊開平方 $2x-3=\pm\sqrt{11}$，所以 $2x=3\pm\sqrt{11}$，$x=\dfrac{3\pm\sqrt{11}}{2}$；$11$ 是質數，根式已最簡。(6) $x(x-6)=3591$ 先展開成 $x^2-6x=3591$，用配方法：兩邊同加 $\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2=9$，得 $x^2-6x+9=3591+9=3600$，即 $(x-3)^2=3600$。開平方 $x-3=\pm60$，故 $x=63$ 或 $x=-57$。
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   第7小題：提公因式別消去

   $(3x+2)(x-2)=6(x-2)^2$ 兩邊都有 $(x-2)$，但不可以直接消去，否則會漏掉 $x=2$。把右邊移到左邊並提出公因式：$(x-2)\left[(3x+2)-6(x-2)\right]=0$。中括號裡整理：$3x+2-6x+12=-3x+14$，所以 $(x-2)(-3x+14)=0$。因此 $x-2=0$ 或 $-3x+14=0$，得 $x=2$ 或 $x=\dfrac{14}{3}$；$14$ 與 $3$ 互質，已是最簡分數。
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   化到最簡，總整理

   最後把七小題的答案列齊，分數都約到最簡、根式的被開方數都不含平方因數：(1) $x=\dfrac{2}{7}$ 或 $x=-5$；(2) $x=0$ 或 $x=\dfrac{5}{2}$；(3) $x=\dfrac{11\pm\sqrt{17}}{4}$；(4) $x=\dfrac{1}{3}$ 或 $x=-6$；(5) $x=\dfrac{3\pm\sqrt{11}}{2}$；(6) $x=63$ 或 $x=-57$；(7) $x=2$ 或 $x=\dfrac{14}{3}$。其中 $\dfrac{2}{7}$、$\dfrac{5}{2}$、$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{14}{3}$ 分子分母都互質；$\sqrt{17}$、$\sqrt{11}$ 的 $17$、$11$ 都是質數。每一小題都要把兩個解寫齊才算完整。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #因式分解 #配方法 #公式解

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