114學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

答案$m=21$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   把「無解」翻成判別式

   一元二次方程式無解，就是公式解的根號裡出現負數，也就是判別式 $b^2-4ac<0$。這題的 $x^2-9x+m=0$ 中 $a=1$、$b=-9$、$c=m$，所以條件是 $(-9)^2-4\times 1\times m<0$。
2. 2

   列出並化簡條件

   $(-9)^2-4\times 1\times m=81-4m$，所以需要 $81-4m<0$。把 $4m$ 移到右邊得 $81<4m$，兩邊同除以 $4$，得 $m>\dfrac{81}{4}=20.25$。
3. 3

   挑出最小的正整數

   $m$ 必須比 $20.25$ 大。比 $20.25$ 大的正整數依序是 $21$、$22$、$23$……，最小的是 $21$。注意 $20$ 比 $20.25$ 小，不能取。
4. 4

   代回去驗證並避開兩個坑

   $m=21$ 時判別式 $=81-84=-3<0$，確實無解；$m=20$ 時判別式 $=81-80=1>0$，方程式還有兩個解，所以 $20$ 不合。另一個常見失誤是移項時不等號方向弄反，寫成 $m<20.25$，就會答出最小正整數 $1$；但 $m=1$ 時判別式 $=81-4=77>0$ 明明有解，代回去一驗就知道方向錯了。所以 $m$ 的最小值為 $21$。

關鍵觀念：#判別式 #無解判斷

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