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110學年新莊國中第3次段考數學 第20題 詳解

一元二次方程式應用(繩子剪成兩段圍正方形) · 非選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案(1) (x4)2+(30−x4)2\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2
(2) 不能。因為 (x4)2+(30−x4)2=28\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2=28 化簡後可得 (x−15)2=−1<0(x-15)^2=-1<0，方程式無解，所以面積和不可能等於28平方公分。看逐步解析 ↓

題目
將一條長度為30公分的繩子剪成兩段，分別以這兩段長度為周長做成兩個正方形。
(1) 剪成兩段後，假設其中一段為xx公分，請表示出這兩個正方形的面積和（不須化簡）（2分）
(2) 承(1)，試問這兩個正方形的面積和可能等於28平方公分嗎？若能，請求出這兩段繩子的長度；若不能，請說明理由。（3分）

逐步解析

  1. 1

    (1) 兩段繩長

    其中一段 xx 公分，另一段是 30−x30-x 公分，且 0<x<300<x<30。<br>正方形周長是邊長的 44 倍，兩個正方形邊長分別是 x4\dfrac{x}{4} 與 30−x4\dfrac{30-x}{4} 公分。
  2. 2

    (1) 面積和

    面積和 =(x4)2+(30−x4)2=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2（平方公分）。
  3. 3

    (2) 列方程式

    假設面積和能等於 2828：(x4)2+(30−x4)2=28\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2=28<br>兩邊乘 1616：x2+(30−x)2=448x^2+(30-x)^2=448。
  4. 4

    (2) 整理並配方

    x2+900−60x+x2=448x^2+900-60x+x^2=448<br>2x2−60x+452=02x^2-60x+452=0，除以 22：x2−30x+226=0x^2-30x+226=0。<br>配方：x2−30x+225=−1x^2-30x+225=-1，即<br>(x−15)2=−1(x-15)^2=-1
  5. 5

    (2) 判斷

    任何數的平方都不會小於 00，而 (x−15)2=−1<0(x-15)^2=-1<0，所以方程式無解。<br>也可用判別式：(−30)2−4×1×226=900−904=−4<0(-30)^2-4\times1\times226=900-904=-4<0，同樣無解。<br>答：不能，面積和不可能等於 2828 平方公分。
答案
(1) (x4)2+(30−x4)2\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2
(2) 不能。因為 (x4)2+(30−x4)2=28\left(\dfrac{x}{4}\right)^2+\left(\dfrac{30-x}{4}\right)^2=28 化簡後可得 (x−15)2=−1<0(x-15)^2=-1<0，方程式無解，所以面積和不可能等於28平方公分。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #生活情境應用 #面積 #判別式 #配方法

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常見卡點
第 (1) 小題常見錯誤是把繩長當成邊長，直接寫 x2+(30−x)2x^2+(30-x)^2；繩子是周長，邊長要先除以 44。第 (2) 小題算到 (x−15)2=−1(x-15)^2=-1 時，要說明「平方不可能是負數」才算完整理由，不能只寫「無解」而不交代原因。

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