113學年鷺江國中第1次段考數學 第1題 詳解

逐步解析

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   先看清楚是「和」不是「積」

   題目說的是兩個三次多項式相加。多項式相加時，只有次數相同的項會把係數合併，次數本身不會被加起來，也不會被乘起來，所以式子裡不可能憑空長出更高次的項。
2. 2

   相加後最高只能到三次

   設兩個三次多項式為 $ax^3+\cdots$ 與 $bx^3+\cdots$。相加後 $x^3$ 項合併成 $(a+b)x^3$，其餘各項也只在原有的 $x^2$、$x$、常數這幾個位置上合併，$x^4$ 以上的項完全沒有來源。所以和的次數最多是 $3$，不可能是 $6$。
3. 3

   舉兩個例子檢查

   例如 $(x^3+2x+1)+(x^3-x+4)=2x^3+x+5$，是三次多項式；若最高次項剛好互相抵消，如 $(x^3+5)+(-x^3+2x)=2x+5$，還會降成一次多項式。兩種情形都不是六次。
4. 4

   下結論

   兩個三次多項式的和，次數最多為 $3$，也可能因最高次項抵消而更低，絕不會是六次多項式。這句敘述錯在「六次」這兩個字，故判定為錯，填 F。

關鍵觀念：#多項式 #次數

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