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112學年鷺江國中第1次段考數學 第5題 詳解

由頂點式判斷最大值或最小值 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
判斷二次函數 y=47(x−9)2−3y=\dfrac{4}{7}(x-9)^2-3 在 xx 為多少時，yy 有最大值或最小值，其值為多少？
(A) 當 x=9x=9 時，yy 有最大值 33
(B) 當 x=9x=9 時，yy 有最小值 −3-3
(C) 當 x=−9x=-9 時，yy 有最大值 33
(D) 當 x=−9x=-9 時，yy 有最小值 −3-3

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    讀出頂點與開口

    y=47(x−9)2−3y=\dfrac{4}{7}(x-9)^2-3 已經是頂點式 y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k，其中 a=47a=\dfrac{4}{7}、h=9h=9、k=−3k=-3，所以頂點是 (9,−3)(9,-3)。因為 a=47>0a=\dfrac{4}{7}>0，圖形開口向上。
  2. 2

    開口向上就有最小值

    開口向上的拋物線，從頂點往左右兩側都越來越高，所以頂點是整張圖的最低點：函數有最小值，沒有最大值。
  3. 3

    用平方項確認數值

    因為 (x−9)2≥0(x-9)^2\ge 0，所以 47(x−9)2≥0\dfrac{4}{7}(x-9)^2\ge 0，因此 y=47(x−9)2−3≥−3y=\dfrac{4}{7}(x-9)^2-3\ge -3。等號只在 (x−9)2=0(x-9)^2=0、也就是 x=9x=9 時成立，此時 y=−3y=-3。所以當 x=9x=9 時 yy 有最小值 −3-3。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#二次函數 #最大值最小值 #頂點式

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常見卡點
最常誤選的是 (D)，原因是把 (x−9)(x-9) 直接讀成 x=−9x=-9。頂點式是 y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k，括號裡寫 x−9x-9 就表示 h=9h=9，對稱軸與頂點的 xx 坐標都是 99，不要再自己多補一個負號；反過來若括號裡是 x+9x+9 才對應 h=−9h=-9。另外 (A)、(C) 把結果說成「最大值」也不對：只有 a<0a<0、開口向下時頂點才是最高點，這題 a=47a=\dfrac{4}{7} 是正的，頂點是最低點。

還是卡住嗎？

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