108學年鷺江國中第1次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   整除就是餘式為零

   「$2x^3-3x^2+x+a$ 能被 $x-2$ 整除」的意思是：用 $x-2$ 去除它的時候，餘式等於 $0$。所以先做長除法，把餘式用 $a$ 表示出來。
2. 2

   長除法第一步

   $2x^3\div x=2x^2$，再 $2x^2(x-2)=2x^3-4x^2$。相減：$(2x^3-3x^2)-(2x^3-4x^2)=x^2$，把後面的項帶下來，得 $x^2+x+a$。
3. 3

   繼續除完

   $x^2\div x=x$，$x(x-2)=x^2-2x$，相減得 $3x+a$；再 $3x\div x=3$，$3(x-2)=3x-6$，相減得餘式 $a+6$。所以商式是 $2x^2+x+3$，餘式是 $a+6$。
4. 4

   讓餘式為零

   要能整除就必須 $a+6=0$，解得 $a=-6$。驗算：$(x-2)(2x^2+x+3)=2x^3+x^2+3x-4x^2-2x-6=2x^3-3x^2+x-6$，正是 $a=-6$ 時的原式。故選 (A)。

關鍵觀念：#多項式 #整除 #除法

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