114學年鷺江國中第1次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   交點個數看頂點與開口

   二次函數 $y=a(x-h)^2+k$ 的圖形是拋物線，頂點為 $(h,k)$；$a>0$ 時開口向上，$a<0$ 時開口向下。要判斷和 $x$ 軸有幾個交點，只要看頂點落在 $x$ 軸的哪一側：頂點剛好在 $x$ 軸上就只有 1 個交點；開口向上而頂點在 $x$ 軸下方（或開口向下而頂點在上方）有 2 個交點；開口向上而頂點在 $x$ 軸上方（或開口向下而頂點在下方）則一個交點都沒有。
2. 2

   逐一檢查四個選項

   (A) $y=(x-3)^2$ 頂點是 $(3,0)$，就落在 $x$ 軸上，開口向上，恰好 1 個交點。(B) $y=3(x+1)^2-4$ 頂點是 $(-1,-4)$，在 $x$ 軸下方而開口向上，有 2 個交點。(C) $y=3(x-5)^2+7$ 頂點是 $(5,7)$，在 $x$ 軸上方而開口向上，整條拋物線都浮在 $x$ 軸上方，沒有交點。(D) $y=x^2-18$ 頂點是 $(0,-18)$，在 $x$ 軸下方而開口向上，有 2 個交點。
3. 3

   驗算 (A) 的交點

   把 $y=0$ 代入 (A)：$(x-3)^2=0$，只解得 $x=3$ 這一個值，圖形與 $x$ 軸只碰在 $(3,0)$ 一點。故選 (A)。

關鍵觀念：#二次函數 #頂點式 #與x軸交點

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