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110學年鷺江國中第3次段考數學 第30題 詳解

平行四邊形對角線與中線圖形面積 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
欲將學校穿堂的一面牆以彩繪方式來改造，此彩繪以風車作為主視覺，如下圖。風車葉片的草圖繪製，是先畫出一個 □ABCD\square ABCD 並連接兩對角線 AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 交於 OO 點，再畫出通過 OO 點的 GJ‾\overline{GJ}、HI‾\overline{HI}、EF‾\overline{EF}，最後將打勾的區域上色即完成葉片。已知 BC‾\overline{BC} 為100公分，BC‾\overline{BC} 上的高為80公分。若購買顏料前須知道葉片上色區域的面積，試算出葉片上色區域為多少平方公分?
(A)2000 (B)4000 (C)6000 (D)8000
平行四邊形 ABCD：A 左上、D 右上、B 左下、C 右下。上邊由左至右依序為 A、G、H、D；下邊由左至右依序為 B、I、J、C；左邊由上至下為 A、E、B；右邊由上至下為 D、F、C。五條線都通過內部的 O 點：對角線 AC、對角線 BD、線段 GJ、線段 HI、線段 EF，將圖形分成 10 個以 O 為頂點的三角形區塊。其中 5 個區塊標了紅色打勾記號，分別是 O–A–E、O–G–H、O–D–F、O–B–I、O–J–C 這五塊（以 O 為頂點、另外兩個頂點取自邊上相鄰的兩點）；十塊繞 O 一圈的順序是 A–G、G–H、H–D、D–F、F–C、C–J、J–I、I–B、B–E、E–A，打勾的正好是其中第 2、4、6、8、10 塊，呈隔一個標一個的交錯分布。圖案下方另外畫了一棟綠色房子（含窗戶）與一個油漆桶，屬裝飾插圖，與幾何題目無關。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先算整面面積

    BC‾=100\overline{BC}=100 公分，BC‾\overline{BC} 上的高為 8080 公分。平行四邊形的面積等於底乘以高，所以 □ABCD\square ABCD 的面積為 100×80=8000100\times80=8000 平方公分。
  2. 2

    看出 O 是對稱中心

    OO 是兩條對角線的交點，也是平行四邊形的對稱中心。把整個圖形繞 OO 旋轉 180°180° 會完全重合，此時 AA 與 CC 互換、BB 與 DD 互換、GG 與 JJ 互換、HH 與 II 互換、EE 與 FF 互換。
  3. 3

    把十塊配成五對

    五條通過 OO 的線把平行四邊形分成十個以 OO 為頂點的三角形。上面那個旋轉會把它們兩兩配成對：OAGOAG 配 OCJOCJ、OGHOGH 配 OJIOJI、OHDOHD 配 OIBOIB、ODFODF 配 OBEOBE、OFCOFC 配 OEAOEA，同一對的兩塊互相全等、面積相同。
  4. 4

    數打勾的分布

    打勾的五塊是 OEAOEA、OGHOGH、ODFODF、OBIOBI、OJCOJC，繞著 OO 走一圈剛好隔一塊勾一塊。對照上面的五對可以發現，每一對裡恰好有一塊被打勾。
  5. 5

    算面積並收尾

    既然每一對都只取其中一半，上色區域就是整面的一半，面積為 8000÷2=40008000\div2=4000 平方公分。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#平行四邊形 #面積比

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常見卡點
一個常見錯誤是把平行四邊形的面積公式記成「底乘高再除以 22」，先算成 12×100×80=4000\dfrac{1}{2}\times100\times80=4000 再取一半得 20002000，落到 A選項。另一個是算出整面 100×80=8000100\times80=8000 之後忘了還要取一半，直接把 80008000 當答案，落到 D選項。十塊三角形面積其實並不相等，只有中心對稱的那一對才相等。

還是卡住嗎？

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