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110學年鷺江國中第3次段考數學 第29題 詳解

最短路徑問題（對稱點） · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
右圖是小俊製作帆船的平面設計圖，船帆的兩柱 AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 垂直立於船板 CC、DD 兩處。已知 AC‾=3\overline{AC}=3，BD‾=5\overline{BD}=5，CD‾=6\overline{CD}=6，若在 CD‾\overline{CD} 上取 PP 點，分別以 AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 為對稱軸自頂端 AA、BB 拉直繩索固定帆柱，並使 AP‾=AP′‾\overline{AP}=\overline{AP'}，BP‾=BP′′‾\overline{BP}=\overline{BP''}，則此四段繩索長度總和最少是多少?（不考慮打結的長度）
(A) 24
(B) 22
(C) 20
(D) 18
梯形狀的船身輪廓（上寬下窄的倒梯形），上邊由左至右依序標 P'、C、P、D、P'' 五個點（C、D 為帆柱固定點，P 在 C、D 之間，P' 在 C 左側、P'' 在 D 右側）。從 C 垂直向上到 A、從 D 垂直向上到 B 各畫一條實線（帆柱，B 所在的柱明顯比 A 所在的柱高）。另外用虛線從 A 分別畫到 P'、P；從 B 分別畫到 P、P''，形成兩個相鄰的三角形帳篷狀輪廓。船身輪廓下方另有一條較短的底邊，兩側各一條斜線連到上邊的左右兩端。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    四段併成兩段

    題目給 AP′‾=AP‾\overline{AP'}=\overline{AP}、BP′′‾=BP‾\overline{BP''}=\overline{BP}，所以四段繩索的總長為 AP′‾+AP‾+BP‾+BP′′‾=2(AP‾+BP‾)\overline{AP'}+\overline{AP}+\overline{BP}+\overline{BP''}=2(\overline{AP}+\overline{BP})。只要讓 AP‾+BP‾\overline{AP}+\overline{BP} 最短即可。
  2. 2

    作對稱點

    AC‾⊥CD‾\overline{AC}\perp\overline{CD} 且 AC‾=3\overline{AC}=3。把 AA 對直線 CDCD 作對稱點 A′A'，則 A′A' 位在船板下方 33 的地方，而且對 CD‾\overline{CD} 上任何一點 PP 都有 AP‾=A′P‾\overline{AP}=\overline{A'P}。
  3. 3

    化成直線最短

    於是 AP‾+BP‾=A′P‾+BP‾\overline{AP}+\overline{BP}=\overline{A'P}+\overline{BP}，這是從 A′A' 繞經 PP 走到 BB 的折線長。兩點之間以線段最短，所以當 PP 落在 A′B‾\overline{A'B} 與 CD‾\overline{CD} 的交點上時最短，最小值就是 A′B‾\overline{A'B}。
  4. 4

    算出答案

    A′A' 在船板下方 33、BB 在船板上方 55，兩者的水平距離是 CD‾=6\overline{CD}=6，所以 A′B‾=62+(3+5)2=36+64=100=10\overline{A'B}=\sqrt{6^2+(3+5)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10。四段繩索總長最少為 2×10=202\times10=20。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#對稱 #最短路徑 #三角形不等式

常見卡點
算出 A′B‾=10\overline{A'B}=10 之後忘了乘回 22，會得到 1010；一看它不在選項裡，就該回頭檢查題目說的是「四段」繩索。另一個常見錯誤是對稱點作錯邊，把兩根柱子的高相減寫成 62+(5−3)2=40\sqrt{6^2+(5-3)^2}=\sqrt{40}，連整數都不是。對稱點要翻到船板的另一側，兩段高才會相加成 88。

還是卡住嗎？

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