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110學年鷺江國中第3次段考數學 第28題 詳解

箏形面積計算 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，小毅想製作一隻風箏，首先他在紙上剪出一個箏形 ABCDABCD，其中 AB‾=AD‾=102\overline{AB}=\overline{AD}=10\sqrt{2}、BC‾=CD‾=105\overline{BC}=\overline{CD}=10\sqrt{5}，∠BAD=90°\angle BAD=90°，接著再準備兩根竹竿固定在對角線上，若不計竹竿的寬度，則箏形面積為何?
(A)200 (B)300 (C)400 (D)600
箏形 ABCD：A 在上頂點、C 在下頂點、B 在左、D 在右。兩條對角線 AC（豎直）與 BD（水平）在 O 點垂直相交（O 左上方標有直角記號）。四個小三角形分兩色交錯：左上 △ABO 與右下 △ODC 為淺藍色，右上 △AOD 與左下 △BOC 為綠色。∠1 標在 B 頂點（AB 與 BO 的夾角），∠2 標在 A 頂點靠左處（AB 與 AO 的夾角）。C 點下方畫有一條裝飾緞帶（風箏尾巴），與幾何解題無關。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先求 BD

    △ABD\triangle ABD 中 AB‾=AD‾=102\overline{AB}=\overline{AD}=10\sqrt{2} 且 ∠BAD=90°\angle BAD=90°，由畢氏定理 BD‾2=(102)2+(102)2=200+200=400\overline{BD}^2=(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2})^2=200+200=400，所以 BD‾=20\overline{BD}=20。
  2. 2

    確認 O 是中點

    箏形中 AB‾=AD‾\overline{AB}=\overline{AD}、CB‾=CD‾\overline{CB}=\overline{CD}，所以 AA、CC 都落在 BD‾\overline{BD} 的中垂線上。因此 AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}，且 OO 是 BD‾\overline{BD} 的中點，BO‾=OD‾=10\overline{BO}=\overline{OD}=10。
  3. 3

    求 AO 與 CO

    在直角三角形 ABOABO 中，AO‾2=(102)2−102=200−100=100\overline{AO}^2=(10\sqrt{2})^2-10^2=200-100=100，得 AO‾=10\overline{AO}=10。在直角三角形 CBOCBO 中，CO‾2=(105)2−102=500−100=400\overline{CO}^2=(10\sqrt{5})^2-10^2=500-100=400，得 CO‾=20\overline{CO}=20。
  4. 4

    算出面積

    AC‾=AO‾+CO‾=10+20=30\overline{AC}=\overline{AO}+\overline{CO}=10+20=30。箏形兩對角線互相垂直，面積為 12×AC‾×BD‾=12×30×20=300\dfrac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}=\dfrac{1}{2}\times30\times20=300。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#箏形 #面積 #商高定理

常見卡點
算完 CO‾=20\overline{CO}=20 之後忘了把 AO‾=10\overline{AO}=10 加上去，直接用 12×20×20=200\dfrac{1}{2}\times20\times20=200，就落到 A選項。另一個常見失誤是記得 AC‾=30\overline{AC}=30 卻漏掉公式裡的 12\dfrac{1}{2}，寫成 30×20=60030\times20=600 而落到 D選項。對角線一定要取「整條」，面積也一定要除以 22。

還是卡住嗎？

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