110學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把畫弧翻成等長

   以 $B$ 為圓心、$\overline{AB}$ 為半徑畫弧交 $\overline{BC}$ 於 $P$，所以 $\overline{BP}=\overline{AB}$；以 $C$ 為圓心、$\overline{AC}$ 為半徑畫弧交 $\overline{BC}$ 於 $Q$，所以 $\overline{CQ}=\overline{AC}$。這樣就得到兩個等腰三角形。
2. 2

   算兩個底角

   $\triangle ABP$ 中 $\overline{BA}=\overline{BP}$，兩底角相等，所以 $\angle APB=\dfrac{180°-\angle B}{2}=90°-\dfrac{\angle B}{2}$。同理 $\triangle ACQ$ 中 $\overline{CA}=\overline{CQ}$，得 $\angle AQC=90°-\dfrac{\angle C}{2}$。
3. 3

   確認 Q 在中間

   $\overline{BQ}=\overline{BC}-\overline{CQ}=\overline{BC}-\overline{AC}$，而三角形三邊關係給出 $\overline{AB}+\overline{AC}>\overline{BC}$，即 $\overline{AB}>\overline{BC}-\overline{AC}$。所以 $\overline{BP}>\overline{BQ}$，$Q$ 確實落在 $B$ 與 $P$ 之間。
4. 4

   比較兩個底角

   因為 $Q$ 在 $B$ 與 $P$ 之間，$\angle AQP$ 就是 $\angle AQC=90°-\dfrac{\angle C}{2}$，$\angle APQ$ 就是 $\angle APB=90°-\dfrac{\angle B}{2}$。由 $\angle B>\angle C$ 得 $\dfrac{\angle B}{2}>\dfrac{\angle C}{2}$，所以 $\angle APQ<\angle AQP$。
5. 5

   用大角對大邊

   在 $\triangle APQ$ 中，$\angle AQP$ 的對邊是 $\overline{AP}$，$\angle APQ$ 的對邊是 $\overline{AQ}$。大角對大邊，由 $\angle AQP>\angle APQ$ 得 $\overline{AP}>\overline{AQ}$。故選 (A)。

關鍵觀念：#全等三角形 #尺規作圖

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