114學測自然 第18題 詳解

答案(C) $X>-2$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   亮度三因素

   這題考「行星為什麼亮」。行星本身不發光，靠反射太陽光，所以從地球看到的視亮度由三件事決定：一、行星的反射面積，與半徑平方成正比；二、行星接收到的太陽光強度，與它到太陽距離的平方成反比；三、反射光傳回地球途中再度擴散，與它到地球距離的平方成反比。另外記好星等規則：星等數字愈小愈亮，亮度差 100 倍相當於星等差 5 等，亮度差 10 倍相當於星等差 2.5 等。
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   寫出比例式

   設行星半徑為 $R$（以地球半徑為單位）、與太陽距離為 $d$、與地球距離為 $D$（皆以日地距離為單位）。反照率相同時，視亮度 $B \propto \dfrac{R^2}{d^2 D^2}$。行星最亮發生在離地球最近的時刻，此時地球位在太陽與行星的連線上，$D = d - 1$。所以木星最亮時 $d=5$、$D=4$；土星最亮時 $d=10$、$D=9$。
3. 3

   代入數字

   把兩顆行星最亮時的數字代入比較。木星：$B_{\text{木}} \propto \dfrac{11^2}{5^2\times 4^2}=\dfrac{121}{400}\approx 0.30$。土星：$B_{\text{土}} \propto \dfrac{9^2}{10^2\times 9^2}=\dfrac{1}{100}=0.01$，分子與分母的 $9^2$ 恰好約掉。兩者相除：$\dfrac{0.30}{0.01}\approx 30$，土星最亮時仍比木星最亮時暗了約 30 倍。
4. 4

   換算星等

   亮度差 30 倍已超過 10 倍，所以星等至少差 2.5 等；30 倍介於 10 倍（差 2.5 等）與 100 倍（差 5 等）之間，精估約差 3.7 等。木星最亮為 $-3$ 等，故土星最亮約 $X \approx -3 + 3.7 \approx +0.7$ 等；即使只用保守下限 $X > -3 + 2.5 = -0.5$，也已經比 $-2$ 大。順帶一提，木星最暗（$-2$ 等）時 $D=6$，亮度 $\propto \dfrac{121}{25\times 36}\approx 0.13$，土星最亮仍比它暗十倍以上，可見 $X>-2$ 十分穩固。
5. 5

   逐項檢查

   逐一檢視：(A) $X<-3$ 要求土星比木星最亮時還亮，與計算相反；(B) $-3<X<-2$ 要求土星亮度落在木星的變化範圍內，但土星最亮比木星最暗還暗十倍以上，不成立；(C) $X>-2$ 與估算結果 $X\approx +0.7$ 一致，正確；(D) 是最容易誤選的選項——算出「土星暗很多」就跳去選它，但肉眼可見極限是 6 等，土星約 0 到 1 等，仍是夜空中的亮星；(E) 日地距離固定約 1 天文單位，會變動的是土星與地球的距離，而「最大亮度」已指定在最近距離，是明確的定值。答案選 (C)。

關鍵觀念：#星等 #反照率 #行星亮度

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