114學測自然 第19題 詳解

答案(D)(E)看逐步解析 ↓

逐步解析

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   週期定半徑

   這題把 ISS 和同步衛星放在一起比，核心觀念是：圓軌道上每個物理量各由什麼決定。第一步先用週期比出軌道半徑。繞地球的圓軌道滿足克卜勒第三定律 $r^3 \propto T^2$，週期愈長、軌道半徑愈大。ISS 週期 90 分鐘，同步衛星週期與地球自轉相同，是 24 小時，遠大於 90 分鐘，所以同步衛星的軌道半徑一定比 ISS 大。(A) 說 ISS 的軌道半徑一定比較大，方向恰好相反，錯誤。
2. 2

   公式總整理

   把圓軌道各量的公式列出來，重點是看哪些含衛星質量 $m$、哪些不含。由萬有引力提供向心力：$\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$，解得速率 $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$、加速度量值 $a=\dfrac{GM}{r^2}$，兩者的 $m$ 都消掉了，只由軌道半徑 $r$ 決定。重力位能 $U=-\dfrac{GMm}{r}$；再用題目給的 $2T=-U$，總力學能 $E=T+U=-\dfrac{U}{2}+U=\dfrac{U}{2}=-\dfrac{GMm}{2r}$，這兩個量都帶著 $m$。
3. 3

   速率加速度

   先看不含質量的兩個量。(D)：$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$，$r$ 愈小 $v$ 愈大；ISS 的軌道半徑較小，速率一定較大，(D) 正確。(E)：$a=\dfrac{GM}{r^2}$，$r$ 愈小 $a$ 愈大；ISS 的加速度量值一定較大，(E) 正確。這兩個結論與衛星本身的質量完全無關，不論同步衛星多重都成立，所以敢說「一定」。
4. 4

   能量看質量

   再看含質量的兩個量。$U=-\dfrac{GMm}{r}$ 與 $E=-\dfrac{GMm}{2r}$ 都正比於衛星質量 $m$（且為負值），而題幹明說同步衛星可以是「任何質量」，兩衛星的質量大小關係未知。(C)：若兩者質量相同，ISS 的 $r$ 較小，$U$ 反而更負、比較小；若同步衛星質量極大，換成它的 $U$ 更負。結果隨質量而變，「一定比較大」不成立，(C) 錯誤。(B)：$E$ 的結構相同，同樣隨質量翻盤，也不能說一定比較大，(B) 錯誤。
5. 5

   確認答案

   整理：(A) 軌道半徑由週期決定，ISS 一定比較小，錯；(B)(C) 含衛星質量 $m$，質量未知就沒有「一定」，錯；(D)(E) 的 $m$ 已消去，單由軌道半徑決定，ISS 半徑小所以速率與加速度量值都一定較大。答案選 (D)(E)。

關鍵觀念：#萬有引力 #圓周運動 #重力位能 #力學能

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