111學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先定位兩個角

   設 $\overline{AD}$ 與 $\overline{GF}$ 交於 $P$、$\overline{AB}$ 與 $\overline{EF}$ 交於 $Q$。$\angle1$ 在 $P$ 處開口朝上，夾在 $\overrightarrow{PD}$ 與 $\overrightarrow{PG}$ 之間；$\angle2$ 在 $Q$ 處開口朝下，夾在 $\overrightarrow{QB}$ 與 $\overrightarrow{QE}$ 之間。兩者都長在「兩條邊的交點」上，不是菱形的內角。
2. 2

   寫出兩菱形的內角

   菱形 $ABCD$ 的對角相等，所以 $\angle DAB=\angle C=40°$。兩菱形全等，菱形 $AEFG$ 的內角也是 $40°$ 與 $140°$；由圖 $G$、$E$ 是它的銳角頂點，故 $\angle AGF=\angle AEF=40°$，而鄰角互補得 $\angle GAE=180°-40°=140°$。
3. 3

   用外角定理求 $\angle DAG$

   看 $\triangle APG$：$P$ 在 $\overline{AD}$ 上，$\angle1$ 正是 $P$ 處的外角，等於兩個不相鄰內角之和，即 $\angle1=\angle DAG+\angle AGF$。代入得 $95°=\angle DAG+40°$，所以 $\angle DAG=55°$。
4. 4

   求 $\angle BAE$

   $A$ 處的角依序是 $\angle DAG$、$\angle DAB$、$\angle BAE$，合起來就是 $\angle GAE$。所以 $140°=55°+40°+\angle BAE$，得 $\angle BAE=45°$。
5. 5

   再用一次外角定理

   看 $\triangle AQE$：$Q$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\angle2$ 是 $Q$ 處的外角，$\angle2=\angle BAE+\angle AEF=45°+40°=85°$。故選 (C)。

關鍵觀念：#菱形性質 #全等 #角度關係

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