111學年鷺江國中第3次段考數學 第27題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先算 $\overline{AG}$

   $G$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $\overline{BG}=5$，正方形的角 $\angle ABG=90°$，邊長 $\overline{AB}=12$。由畢氏定理 $\overline{AG}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$。
2. 2

   造一條和 $\overline{AB}$ 等長的線段

   過 $E$ 作 $\overline{EH}\parallel\overline{BC}$ 交 $\overline{DC}$ 於 $H$。正方形對邊平行且等長，所以 $\overline{EH}=12=\overline{AB}$；又 $\overline{EH}\perp\overline{DC}$，所以 $\angle EHF=90°=\angle ABG$。
3. 3

   把兩個銳角對上

   設 $\overline{AG}$ 與 $\overline{EF}$ 交於 $P$。因為 $\overline{AG}\perp\overline{EF}$，$\angle APE=90°$，在 $\triangle AEP$ 中 $\angle AEP=90°-\angle EAP=90°-\angle BAG$（$E$ 在 $\overline{AB}$ 上，所以 $\angle EAP$ 就是 $\angle BAG$）。
4. 4

   推出 $\angle HEF=\angle BAG$

   $\overline{EH}\perp\overline{AB}$，所以 $\angle AEH=90°$。於是 $\angle HEF=\angle AEH-\angle AEF=90°-(90°-\angle BAG)=\angle BAG$。
5. 5

   用 ASA 做出全等

   在 $\triangle ABG$ 與 $\triangle EHF$ 中：$\angle ABG=\angle EHF=90°$、$\overline{AB}=\overline{EH}=12$、$\angle BAG=\angle HEF$，由 ASA 得 $\triangle ABG\cong\triangle EHF$。對應邊相等，所以 $\overline{EF}=\overline{AG}=13$。空格 (11) 填 $13$。

關鍵觀念：#正方形 #垂直線段 #全等三角形

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