108學年鷺江國中第1次段考數學 第20題 詳解

答案$\dfrac{4}{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把所有已知長度標出來

   六邊形由六個邊長為 $2$ 的正三角形拼成，中心為 $O$。每個正三角形的三邊都是 $2$，所以 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=2$，六邊形的每一邊也都是 $2$。
2. 2

   找出一組平行線

   $\triangle AOF$ 與 $\triangle AOB$ 都是正三角形，所以 $\angle OAF=60^\circ$、$\angle AOB=60^\circ$。這兩個角正是 $\overline{AF}$ 與 $\overline{BE}$ 被 $\overline{AO}$ 所截出的內錯角，兩者相等，因此 $\overline{AF}/\!/\overline{BE}$。
3. 3

   定出 P 的位置

   四邊形 $ABCO$ 的四邊 $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CO}=\overline{OA}=2$，是一個菱形，兩條對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BO}$ 會互相平分。$P$ 正是這兩條對角線的交點，所以 $P$ 是 $\overline{BO}$ 的中點，$\overline{OP}=\dfrac{1}{2}\times 2=1$。
4. 4

   用平行找出相似三角形

   $Q$ 是 $\overline{FP}$ 與對角線 $\overline{AD}$ 的交點，落在 $\overline{AO}$ 這一段上。因為 $\overline{AF}/\!/\overline{OP}$，得 $\angle QAF=\angle QOP$（內錯角）、$\angle AQF=\angle OQP$（對頂角），所以 $\triangle QAF\sim\triangle QOP$。
5. 5

   算出 AQ 並作答

   相似比 $\overline{AF}:\overline{OP}=2:1$，所以 $\overline{QA}:\overline{QO}=2:1$。而 $\overline{QA}+\overline{QO}=\overline{AO}=2$，共 $3$ 份，因此 $\overline{AQ}=2\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$。

關鍵觀念：#正六邊形 #正三角形 #對角線

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