108學年鷺江國中第1次段考數學 第21題 詳解

逐步解析

1. 1

   用 30 度角求出 AD

   $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，所以 $\triangle ACD$ 中 $\angle ADC=90^\circ$，再加上 $\angle CAD=30^\circ$，得 $\angle ACD=60^\circ$。這種 $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ 的直角三角形，三邊長的比是 $1:\sqrt{3}:2$。$\overline{CD}$ 是 $30^\circ$ 的對邊、$\overline{AD}$ 是 $60^\circ$ 的對邊，所以 $\overline{AD}=18\times\sqrt{3}=18\sqrt{3}$。
2. 2

   用直角三角形的高求出 ED

   $\angle BEC=90^\circ$，而 $\overline{ED}\perp\overline{BC}$，所以 $\overline{ED}$ 是 $\triangle BEC$ 斜邊上的高。由母子相似得 $\overline{ED}^2=\overline{BD}\times\overline{CD}=8\times 18=144$，所以 $\overline{ED}=12$。
3. 3

   算出 AE

   $E$ 在 $\overline{AD}$ 上，所以 $\overline{AE}=\overline{AD}-\overline{ED}=18\sqrt{3}-12$。
4. 4

   用中點連線求 MN

   $M$、$N$ 分別是 $\overline{AB}$、$\overline{BE}$ 的中點，在 $\triangle ABE$ 中 $\overline{MN}$ 連接兩邊中點，由中點連線性質，$\overline{MN}$ 平行 $\overline{AE}$ 且 $\overline{MN}=\dfrac{1}{2}\overline{AE}$。
5. 5

   代入並作答

   $\overline{MN}=\dfrac{1}{2}\times(18\sqrt{3}-12)=9\sqrt{3}-6$。

關鍵觀念：#三角形高 #中點連線 #直角關係