TutopiaTutopia 解題方城市 免費試用

108學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

光源投影相似三角形應用（求影長） · 非選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
身高180公分的小文站立於B點處，A點處的燈光以放射狀發射光線，則在牆上會出現人影，已知AB‾=3\overline{AB}=3公尺，BC‾=5\overline{BC}=5公尺，則小文的影長CD‾\overline{CD}為多少公分？ (4分)
地面上由左至右依序標示三點A、B、C：A為光源所在位置（地面上一點），B為小文站立的位置（以站立的人形圖案表示），C為地面上一面垂直牆的底部（C處標有直角記號，牆由C垂直往上）。牆頂端標示為D。一條虛線由A出發，沿斜向往上延伸、掠過人形圖案的頭頂，一路延伸到牆上的D點（表示光線路徑：光源經過人頭頂再投射到牆上形成影子頂點D）。

答案480480 公分看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先統一單位並算出全長

    AB‾=3\overline{AB}=3 公尺 =300=300 公分，BC‾=5\overline{BC}=5 公尺 =500=500 公分。AA、BB、CC 在同一條地面上依序排列，所以 AC‾=300+500=800\overline{AC}=300+500=800 公分。
  2. 2

    找出相似三角形

    設小文的頭頂為 EE，則 BE‾=180\overline{BE}=180 公分且 BE‾⊥AC‾\overline{BE}\perp\overline{AC}；牆 CD‾\overline{CD} 也垂直於地面 AC‾\overline{AC}。兩者都垂直於同一條線，所以 BE‾/ ⁣/CD‾\overline{BE}/\!/\overline{CD}，得 △ABE∼△ACD\triangle ABE\sim\triangle ACD。
  3. 3

    設未知數並列出比例式

    設影長 CD‾=h\overline{CD}=h 公分。相似三角形的對應邊成比例，BE‾:CD‾=AB‾:AC‾\overline{BE}:\overline{CD}=\overline{AB}:\overline{AC}，代入得 180:h=300:800180:h=300:800。
  4. 4

    解方程式

    交叉相乘得 300h=180×800=144000300h=180\times 800=144000，所以 h=144000÷300=480h=144000\div 300=480。
  5. 5

    作答

    小文的影長 CD‾=480\overline{CD}=480 公分。
答案
480480 公分

關鍵觀念：#相似三角形應用 #投影 #比例線段

常見卡點
最常見的錯是把 AB‾\overline{AB} 對到 BC‾\overline{BC}。相似的兩個三角形是 △ABE\triangle ABE（EE 為頭頂）與 △ACD\triangle ACD，它們共用頂點 AA，對應的底邊是 AB‾=300\overline{AB}=300 與「整段」AC‾=800\overline{AC}=800，不是 BC‾=500\overline{BC}=500；用 180:h=3:5180:h=3:5 會算出 300300 公分。另外比例顛倒成 h=180×300800h=180\times\dfrac{300}{800} 會得到 67.567.5 公分，比人還矮，一看就知道錯了。

還是卡住嗎？

📸 上傳你的算式，邏輯貓頭鷹幫你找出是「哪一步」開始錯的——不只給答案，一步步教到你會。

直接丟一題試試 →

免費試用，不用先註冊；要送出時再登入即可・或先註冊領 20 枚圖圖幣