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108學年鷺江國中第1次段考數學 第17題 詳解

三角形內平行線與交叉cevian比例 · 填充 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC中，DE‾/ ⁣/BC‾\overline{DE}/\!/\overline{BC}，且BD‾:AD‾=3:2\overline{BD}:\overline{AD}=3:2，則PC‾:PD‾=\overline{PC}:\overline{PD}=___(8)___
一個三角形 $ABC$，$A$ 在頂端、$B$ 在左下、$C$ 在右下。$D$ 在邊 $\overline{AB}$ 上、$E$ 在邊 $\overline{AC}$ 上，$D$、$E$ 之間畫一條連線（位置較靠近 $A$；$D$ 在 $\overline{AB}$ 上所占的比例與 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上所占的比例看起來相當）。另外畫出 $\overline{BE}$ 與 $\overline{CD}$，兩者在 $\overline{DE}$ 下方、三角形內部相交於一點 $P$。

答案5:25:2看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把比例換成對整條邊的比

    BD‾:AD‾=3:2\overline{BD}:\overline{AD}=3:2，兩段合起來就是 AB‾\overline{AB}，所以 AD‾:AB‾=2:(2+3)=2:5\overline{AD}:\overline{AB}=2:(2+3)=2:5。
  2. 2

    求出 DE 與 BC 的比

    DE‾/ ⁣/BC‾\overline{DE}/\!/\overline{BC}，所以 △ADE∼△ABC\triangle ADE\sim\triangle ABC，對應邊成比例，DE‾:BC‾=AD‾:AB‾=2:5\overline{DE}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{AB}=2:5。
  3. 3

    找出交點處的相似三角形

    PP 是 BE‾\overline{BE} 與 CD‾\overline{CD} 的交點。因為 DE‾/ ⁣/BC‾\overline{DE}/\!/\overline{BC}，∠PDE=∠PCB\angle PDE=\angle PCB、∠PED=∠PBC\angle PED=\angle PBC（都是內錯角），所以 △PDE∼△PCB\triangle PDE\sim\triangle PCB。
  4. 4

    寫出對應邊的比

    由對應關係 DD 配 CC、EE 配 BB，得 PD‾:PC‾=DE‾:CB‾=2:5\overline{PD}:\overline{PC}=\overline{DE}:\overline{CB}=2:5。
  5. 5

    調整順序作答

    題目問的是 PC‾:PD‾\overline{PC}:\overline{PD}，要把上一步的比反過來寫，所以 PC‾:PD‾=5:2\overline{PC}:\overline{PD}=5:2。
答案
5:25:2

關鍵觀念：#平行線截比例線段 #三角形cevian比例

常見卡點
兩個地方容易翻車。第一，題目給的是 BD‾:AD‾=3:2\overline{BD}:\overline{AD}=3:2，要先轉成 AD‾:AB‾=2:5\overline{AD}:\overline{AB}=2:5 才能得到 DE‾:BC‾=2:5\overline{DE}:\overline{BC}=2:5；直接把 3:23:2 搬去用會答成 3:23:2。第二，△PDE∼△PCB\triangle PDE\sim\triangle PCB 給的是 PD‾:PC‾=2:5\overline{PD}:\overline{PC}=2:5，題目問的卻是 PC‾:PD‾\overline{PC}:\overline{PD}，順序要反過來寫成 5:25:2，寫成 2:52:5 就前功盡棄。

還是卡住嗎？

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