108學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先設好圖形

   設 $\triangle ABC$ 中 $\overline{AB}=\overline{AC}$，兩腰是 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$，底邊是 $\overline{BC}$。等腰三角形沿著頂角 $\angle A$ 的角平分線對摺會完全疊合，這個對稱性是判斷各選項的共同工具。
2. 2

   檢查選項 B

   兩腰上的高，是指由 $B$ 作 $\overline{AC}$ 的高 $h_1$、由 $C$ 作 $\overline{AB}$ 的高 $h_2$。用面積看：$\frac{1}{2}\times\overline{AC}\times h_1=\triangle ABC=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times h_2$。因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，兩邊約掉後得 $h_1=h_2$。(B) 敘述正確。
3. 3

   檢查選項 C、D

   (C) 兩底角 $\angle B$、$\angle C$ 相等，它們的角平分線在對摺後互相對應，所以由 $B$ 到 $\overline{AC}$、由 $C$ 到 $\overline{AB}$ 的那兩段角平分線長度必相等，敘述正確。(D) 頂角的角平分線就是對稱軸，摺過去時 $B$ 和 $C$ 互換，所以它必定垂直平分底邊，這就是課本說的三線合一，敘述正確。
4. 4

   檢查選項 A

   兩腰上的中線確實一樣長（理由和 (C) 相同，都是對摺後互相對應），但「一樣長」不等於「互相垂直」。拿最特別的正三角形來看：三條中線兩兩的夾角是 $60°$ 或 $120°$，沒有一組是直角。可見兩腰上的中線不一定互相垂直，這個敘述用了「必」字就是錯的。故選 (A)。

關鍵觀念：#等腰三角形 #中線 #高 #角平分線

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