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108學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

五邊形內含正三角形求角度 · 填充 · 題目出處：108 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十四），五邊形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB‾=DE‾\overline{AB}=\overline{DE}，BC‾=AE‾\overline{BC}=\overline{AE}，∠E=105°\angle E=105°，則 ∠BAE=\angle BAE=＿＿＿＿度
五邊形 ABCDE：A 在最上方（頂點），E 在右上方、D 在右下方、C 在左下方、B 在左上方，依 A→B→C→D→E→A 的順序圍成五邊形外框。圖中另畫出三角形 ACD（連接 A、C、D 三點），與外框共用邊 CD。

答案135135看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    正三角形送了一組等邊

    △ACD\triangle ACD 是正三角形，所以 CA‾=AD‾=CD‾\overline{CA}=\overline{AD}=\overline{CD}，而且 ∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°\angle CAD=\angle ACD=\angle ADC=60°。這組等邊正是把兩個小三角形接起來的第三條線索。
  2. 2

    找出全等

    比較 △ABC\triangle ABC 與 △DEA\triangle DEA：AB‾=DE‾\overline{AB}=\overline{DE}（題目給）、BC‾=EA‾\overline{BC}=\overline{EA}（題目給）、CA‾=AD‾\overline{CA}=\overline{AD}（正三角形）。三組邊都相等，由 SSS 得 △ABC≅△DEA\triangle ABC\cong\triangle DEA
  3. 3

    讀出兩件有用的事

    對應頂點是 A 配 D、B 配 E、C 配 A。於是：∠ABC=∠DEA=∠E=105°\angle ABC=\angle DEA=\angle E=105° ∠BCA=∠EAD\angle BCA=\angle EAD 第一式給我們 △ABC\triangle ABC 的一個角，第二式讓我們把 ∠EAD\angle EAD 換成 ∠BCA\angle BCA。
  4. 4

    求另外兩角的和

    在 △ABC\triangle ABC 中 ∠BAC+∠BCA=180°−∠ABC=180°−105°=75°\angle BAC+\angle BCA=180°-\angle ABC=180°-105°=75°
  5. 5

    把要求的角拆成三塊

    ∠BAE\angle BAE 被 AC‾\overline{AC} 與 AD‾\overline{AD} 切成三塊：∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE\angle BAE=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAE 其中 ∠CAD=60°\angle CAD=60°，而 ∠DAE=∠BCA\angle DAE=\angle BCA，所以 ∠BAE=(∠BAC+∠BCA)+60°=75°+60°=135°\angle BAE=(\angle BAC+\angle BCA)+60°=75°+60°=135° 因此 ∠BAE=135\angle BAE=135 度。
答案
135135

關鍵觀念：#多邊形 #正三角形 #全等三角形

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常見卡點
兩個地方要小心。一是對應關係：AB‾\overline{AB} 配 DE‾\overline{DE}、BC‾\overline{BC} 配 EA‾\overline{EA}、CA‾\overline{CA} 配 AD‾\overline{AD}，寫出來是 △ABC≅△DEA\triangle ABC\cong\triangle DEA；若寫成 △ABC≅△AED\triangle ABC\cong\triangle AED，會得到 ∠BAC=∠EAD\angle BAC=\angle EAD，兩個未知角湊不出數字，整題就卡住。二是最後別漏掉中間那塊：∠BAE\angle BAE 是 ∠BAC\angle BAC、∠CAD\angle CAD、∠DAE\angle DAE 三塊合起來，忘了正三角形的 60°60° 就只剩 75°75°。

還是卡住嗎？

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