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108學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

直角三角形內部全等求角度 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（六），△ABC\triangle ABC 中，∠C=90°\angle C=90°，D 在 AC‾\overline{AC} 上，DE‾⊥AB‾\overline{DE}\perp\overline{AB}，DE‾=CD‾\overline{DE}=\overline{CD}。若 ∠A=42°\angle A=42°，則 ∠1=\angle 1=？ (A) 32°32° (B) 42°42° (C) 66°66° (D) 70°70°。
直角三角形 ABC：A 在右上、C 在右下、B 在左下；$\overline{AC}$ 畫成鉛直線、$\overline{BC}$ 畫成水平線，C 點內側有直角記號。E 在 $\overline{AB}$ 上、偏 A 的那一側；D 在 $\overline{AC}$ 上、大約在中點略下方。圖中另外連出 $\overline{DE}$ 與 $\overline{BD}$，E 點處有直角記號（表示 $\overline{DE}$ 與 $\overline{AB}$ 垂直）。角標「1」印在 D 的左下方、$\overline{DB}$ 的下側，夾在 $\overline{DB}$ 與 $\overline{DC}$ 之間。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先在小直角三角形起步

    DE‾⊥AB‾\overline{DE}\perp\overline{AB}，所以 ∠AED=90°\angle AED=90°。在 △ADE\triangle ADE 中，∠A=42°\angle A=42°，由內角和 ∠ADE=180°−90°−42°=48°\angle ADE=180°-90°-42°=48°
  2. 2

    找出一組全等

    比較 △BDE\triangle BDE 與 △BDC\triangle BDC：∠DEB=∠DCB=90°\angle DEB=\angle DCB=90°、斜邊 BD‾\overline{BD} 是共用邊、直角邊 DE‾=DC‾\overline{DE}=\overline{DC}（題目給的）。一個直角、一組斜邊、一組直角邊，正是 RHS 全等。
  3. 3

    對應角搬過來

    由 △BDE≅△BDC\triangle BDE\cong\triangle BDC 得 ∠BDE=∠BDC\angle BDE=\angle BDC 也就是 DB‾\overline{DB} 把 ∠EDC\angle EDC 平分成相等的兩半。
  4. 4

    用一條直線把角湊齊

    D 在 AC‾\overline{AC} 上，所以 A、D、C 三點共線，D 點上方的三個角合成一個平角：∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°\angle ADE+\angle BDE+\angle BDC=180° 代入 ∠ADE=48°\angle ADE=48° 並令 ∠BDE=∠BDC=t\angle BDE=\angle BDC=t：48°+2t=180°48°+2t=180° t=66°t=66°
  5. 5

    寫出結論

    ∠BDE=∠BDC=66°\angle BDE=\angle BDC=66°。圖上的 ∠1\angle 1 標在 DB‾\overline{DB} 與 DC‾\overline{DC} 之間，也就是 ∠BDC\angle BDC，所以 ∠1=66°\angle 1=66°。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#三角形全等 #直角三角形

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常見卡點
最常見的錯是只把 AC‾\overline{AC} 這條直線分成兩塊：算出 ∠ADE=48°\angle ADE=48° 之後直接寫 ∠1=180°−48°=132°\angle 1=180°-48°=132°，得到一個不在選項裡的數。D 點上其實有三個角並排，分別是 ∠ADE\angle ADE、∠EDB\angle EDB 與 ∠BDC\angle BDC；DB‾\overline{DB} 把下半邊又切了一刀，而且切成相等的兩半，所以要用 48°+2∠1=180°48°+2\angle 1=180° 才對。

還是卡住嗎？

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