109學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

答案(1) $120$ (2) $8$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先配好對應角

   四邊形 $ABCD\sim$ 四邊形 $PQRS$，對應點依序是 $A\leftrightarrow P$、$B\leftrightarrow Q$、$C\leftrightarrow R$、$D\leftrightarrow S$，所以對應角一一相等：$\angle A=\angle P=90^\circ$、$\angle B=\angle Q=70^\circ$、$\angle C=\angle R=80^\circ$、$\angle D=\angle S$。
2. 2

   用內角和求 S 角

   四邊形的內角和是 $360^\circ$。在四邊形 $ABCD$ 中，$\angle D=360^\circ-\angle A-\angle B-\angle C=360^\circ-90^\circ-70^\circ-80^\circ=120^\circ$。因為 $\angle S=\angle D$，所以 $\angle S=120^\circ$。
3. 3

   由已知邊求相似比

   圖上完整標出長度的一組對應邊是 $\overline{BC}$ 與 $\overline{QR}$：$\overline{BC}=6$、$\overline{QR}=10$，所以相似比 $\overline{BC}:\overline{QR}=6:10=3:5$。
4. 4

   用 CD 與 RS 列式

   $\overline{CD}$ 對應 $\overline{RS}$，所以 $\overline{CD}:\overline{RS}$ 也要是 $3:5$，也就是 $\left(x-\dfrac{4}{5}\right):(x+4)=3:5$。
5. 5

   解出 x

   內項相乘等於外項相乘：$5\left(x-\dfrac{4}{5}\right)=3(x+4)$。左邊展開是 $5x-4$，右邊展開是 $3x+12$，所以 $5x-4=3x+12$，移項得 $2x=16$，$x=8$。
6. 6

   回頭驗算

   把 $x=8$ 代回：$\overline{CD}=8-\dfrac{4}{5}=\dfrac{36}{5}$、$\overline{RS}=8+4=12$，而 $\dfrac{36}{5}\div12=\dfrac{3}{5}$，確實等於相似比 $3:5$。所以 $\angle S=120^\circ$、$x=8$。

關鍵觀念：#相似形 #對應角 #多邊形內角和

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