109學年鷺江國中第1次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先確認 DE 平行 BC

   $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}=1:3$，兩腰被同一個比分割，由平行線截比例線段的逆敘述可知 $\overline{DE}/\!/\overline{BC}$。又 $\overline{AD}:\overline{AB}=1:(1+3)=1:4$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\overline{DE}:\overline{BC}=1:4$。
2. 2

   交點兩側的相似

   $\overline{DE}/\!/\overline{BC}$，而 $\overline{BE}$ 與 $\overline{CD}$ 交於 $P$。由內錯角得 $\angle PDE=\angle PCB$、$\angle PED=\angle PBC$，所以 $\triangle PDE\sim\triangle PCB$，相似比是 $\overline{DE}:\overline{CB}=1:4$。
3. 3

   求出 PCB 的面積

   面積比等於邊長比的平方，所以 $\triangle PDE$ 與 $\triangle PCB$ 的面積比是 $1^2:4^2=1:16$。已知 $\triangle PDE$ 的面積是 $6$，所以 $\triangle PCB$ 的面積是 $6\times16=96$。
4. 4

   補上左右兩塊

   由相似比 $1:4$ 得 $\overline{PE}:\overline{PB}=1:4$。$\triangle PDE$ 與 $\triangle PDB$ 的頂點都是 $D$、底邊 $\overline{PE}$ 與 $\overline{PB}$ 在同一直線上，高相同，所以面積比等於底邊比，$\triangle PDB=6\times4=24$。同理 $\triangle PEC$ 的面積也是 $24$。
5. 5

   拼出梯形 DBCE

   梯形 $DBCE$ 由四塊組成：$\triangle PDE+\triangle PCB+\triangle PDB+\triangle PEC=6+96+24+24=150$。
6. 6

   回推整個三角形

   $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ 且相似比 $1:4$，面積比就是 $1:16$。把 $\triangle ABC$ 看成 $16$ 份，$\triangle ADE$ 佔 $1$ 份，梯形 $DBCE$ 佔 $16-1=15$ 份。設 $\triangle ABC$ 面積為 $S$，則 $\dfrac{15}{16}S=150$，得 $S=160$。$\triangle ABC$ 的面積是 $160$。

關鍵觀念：#三角形比例線段 #相似三角形面積比

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