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109學年新莊國中第2次段考數學 第20題 詳解

摺紙對角線全等三角形證明填空 · 非選 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案在△ABP\triangle ABP和△CEP\triangle CEP中：AB‾=CE‾\overline{AB}=\overline{CE}；∠B=∠E=90°\angle B=\angle E=90°；∠APB=∠CPE\angle APB=\angle CPE（對頂角相等）；故△ABP≅△CEP\triangle ABP\cong\triangle CEP（AAS全等性質）。看逐步解析 ↓

題目
下圖為長方形紙張ABCDABCD，今將紙張沿對角線AC‾\overline{AC}對摺，使DD點落在EE點，PP為AE‾\overline{AE}與BC‾\overline{BC}的交點，請在空格內填入適當的文字、線段或角(度)，完成△ABP≅△CEP\triangle ABP\cong\triangle CEP的說明過程。
長方形ABCD的示意圖：A左上、D右上、B左下、C右下。AD（上邊）與DC（右邊）以虛線畫出。AB（左邊）、AC（對角線，由A到C）以實線畫出。BC（下邊）由B到某一點（即P點）為實線，由該點到C則為虛線。E點在長方形下方外側（C的左下方附近），AE、EC以實線畫出。P即為AE與BC的交點，位置在B、C之間。

逐步解析

  1. 1

    摺疊等長

    ∵ 沿 AC‾\overline{AC} 摺疊，DD 點落在 EE 點
    ∴ CE‾=CD‾\overline{CE}=\overline{CD}，∠E=∠D=90°\angle E=\angle D=90°
    又 AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD} ⇒\Rightarrow AB‾=CE‾\overline{AB}=\overline{CE}
  2. 2

    對頂角

    AE‾\overline{AE}、BC‾\overline{BC} 交於 PP 點 ⇒\Rightarrow ∠APB=∠CPE\angle APB=\angle CPE（對頂角相等）
  3. 3

    AAS全等

    在 △ABP\triangle ABP 和 △CEP\triangle CEP 中，
    ∵ AB‾=CE‾\overline{AB}=\overline{CE}，∠B=∠E=90°\angle B=\angle E=90°，∠APB=∠CPE\angle APB=\angle CPE
    ∴ △ABP≅△CEP\triangle ABP\cong\triangle CEP（AAS 全等）
答案
在△ABP\triangle ABP和△CEP\triangle CEP中：AB‾=CE‾\overline{AB}=\overline{CE}；∠B=∠E=90°\angle B=\angle E=90°；∠APB=∠CPE\angle APB=\angle CPE（對頂角相等）；故△ABP≅△CEP\triangle ABP\cong\triangle CEP（AAS全等性質）。

關鍵觀念：#三角形全等 #AAS全等 #摺疊 #全等三角形應用

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常見卡點
這題最容易錯在全等性質的名稱：AB‾\overline{AB} 不夾在 ∠B\angle B 與 ∠APB\angle APB 中間，夾在兩角中間的是 BP‾\overline{BP}，所以是 AAS，寫成 ASA 會被扣分。AB‾=CE‾\overline{AB}=\overline{CE} 要經過 CD‾\overline{CD} 才成立：CE‾\overline{CE} 是 CD‾\overline{CD} 摺過去的，而長方形對邊 CD‾=AB‾\overline{CD}=\overline{AB}。

還是卡住嗎？

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