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109學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

重疊三角形外角求角度 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十四），△ABC\triangle ABC與△DBE\triangle DBE中，AC‾\overline{AC}與DE‾\overline{DE}相交於F點。已知AB‾＝DB‾\overline{AB}＝\overline{DB}，BC‾＝BE‾\overline{BC}＝\overline{BE}，AC‾＝DE‾\overline{AC}＝\overline{DE}，∠ABE＝70°\angle ABE＝70°，∠DBC＝150°\angle DBC＝150°，∠AFE＝\angle AFE＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿度。
粉紅色重疊圖形：$D$ 在左、$A$ 在上、$E$ 在右上、$B$ 在下方偏左、$C$ 在右下；$B$ 分別與 $A$、$C$、$D$、$E$ 相連（四條線段），從 $B$ 出發的四條射線由左而右的順序是 $D$、$A$、$E$、$C$。另有一條 $\overline{AC}$ 與一條 $\overline{DE}$，兩者相交於 $F$（位於 $A$ 與 $E$ 之間偏上方）。$\overline{AB}$ 與 $\overline{DE}$ 也相交（交點在 $\overline{DE}$ 上、$D$ 與 $F$ 之間）。

答案140看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    三邊相等定出全等

    已知 AB‾=DB‾\overline{AB}=\overline{DB}、BC‾=BE‾\overline{BC}=\overline{BE}、AC‾=DE‾\overline{AC}=\overline{DE}，三組邊對應相等，由 SSS 得 △ABC≅△DBE\triangle ABC\cong\triangle DBE，所以 ∠ABC=∠DBE\angle ABC=\angle DBE、∠BAC=∠BDE\angle BAC=\angle BDE。
  2. 2

    扣掉共有的那一塊

    由圖，從 BB 出發的四條線依 BD→\overrightarrow{BD}、BA→\overrightarrow{BA}、BE→\overrightarrow{BE}、BC→\overrightarrow{BC} 的順序排開，所以 ∠ABC=∠ABE+∠EBC\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC、∠DBE=∠DBA+∠ABE\angle DBE=\angle DBA+\angle ABE。兩者相等，各自扣掉共有的 ∠ABE\angle ABE，得 ∠EBC=∠DBA\angle EBC=\angle DBA。
  3. 3

    求出角 DBA

    ∠DBC=∠DBA+∠ABE+∠EBC=150°\angle DBC=\angle DBA+\angle ABE+\angle EBC=150°，而 ∠ABE=70°\angle ABE=70°，所以 ∠DBA+∠EBC=150°−70°=80°\angle DBA+\angle EBC=150°-70°=80°。兩者又相等，因此 ∠DBA=∠EBC=40°\angle DBA=\angle EBC=40°。
  4. 4

    用交叉的兩個三角形

    設 AB‾\overline{AB} 與 DE‾\overline{DE} 交於 GG。在 △GAF\triangle GAF 與 △GDB\triangle GDB 中，∠AGF=∠DGB\angle AGF=\angle DGB（對頂角），∠GAF=∠BAC=∠BDE=∠GDB\angle GAF=\angle BAC=\angle BDE=\angle GDB，兩組角對應相等，第三組角也必相等，所以 ∠AFG=∠DBG=∠DBA=40°\angle AFG=\angle DBG=\angle DBA=40°。
  5. 5

    取補角得到答案

    GG 落在 DF‾\overline{DF} 上，所以 ∠AFD=∠AFG=40°\angle AFD=\angle AFG=40°。又 DD、FF、EE 共線，∠AFE\angle AFE 與 ∠AFD\angle AFD 互為補角，∠AFE=180°−40°=140°\angle AFE=180°-40°=140°。答案為 140140 度。
答案
140

關鍵觀念：#三角形全等 #對頂角 #角的計算

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常見卡點
這題的第一關是把 B 點周圍四條線的順序排好，才知道角 DBA 和角 EBC 要怎麼湊出來。全等只給角 ABC 等於角 DBE，兩邊同時扣掉共有的角 ABE，才得到角 DBA 等於角 EBC。最常見的錯是把一百五十減七十的八十度直接當成角 DBA，忘了那是兩塊合起來的，最後把角 AFE 寫成一百度。

還是卡住嗎？

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