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109學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

長方形摺紙求邊長 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖（十三）為長方形紙張ABCD，將紙張沿對角線AC‾\overline{AC}對摺，D點落在E點，P為AE‾\overline{AE}與BC‾\overline{BC}的交點，若AB‾＝2\overline{AB}＝2，AD‾＝4\overline{AD}＝4，則AP‾＝\overline{AP}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
長方形紙張摺疊示意圖：$A$ 左上、$D$ 右上、$B$ 左下、$C$ 右下。$\overline{AD}$、$\overline{DC}$ 與 $\overline{PC}$ 皆以虛線畫出（表示摺疊前的原邊與被蓋住的部分）。$E$ 在 $\overline{BC}$ 下方，$P$ 是 $\overline{AE}$ 與 $\overline{BC}$ 的交點（在 $B$、$C$ 之間）。圖中畫有 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{AE}$、$\overline{EC}$ 等線段。橙色區域包含摺過去的那一片，也包含 $\triangle ABP$。

答案52\dfrac{5}{2}看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    摺過去的角相等

    沿 AC‾\overline{AC} 對摺，△ACD\triangle ACD 翻過去變成 △ACE\triangle ACE，兩者全等，所以 AE‾=AD‾=4\overline{AE}=\overline{AD}=4、CE‾=CD‾=2\overline{CE}=\overline{CD}=2，而且 ∠DAC=∠EAC\angle DAC=\angle EAC。
  2. 2

    內錯角搬回底邊

    長方形中 AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}，AC‾\overline{AC} 是截線，所以 ∠DAC=∠ACB\angle DAC=\angle ACB（內錯角）。合起來得 ∠EAC=∠ACB\angle EAC=\angle ACB，也就是 ∠PAC=∠PCA\angle PAC=\angle PCA，△PAC\triangle PAC 兩底角相等，故 PA‾=PC‾\overline{PA}=\overline{PC}。
  3. 3

    設未知數表出 BP

    設 AP‾=t\overline{AP}=t，則 PC‾=t\overline{PC}=t，而 PP 在 BC‾\overline{BC} 上，所以 BP‾=BC‾−PC‾=4−t\overline{BP}=\overline{BC}-\overline{PC}=4-t。
  4. 4

    直角三角形列式

    △ABP\triangle ABP 中 ∠B=90°\angle B=90°，由畢氏定理 AB‾2+BP‾2=AP‾2\overline{AB}^2+\overline{BP}^2=\overline{AP}^2，即 22+(4−t)2=t22^2+(4-t)^2=t^2，展開得 4+16−8t+t2=t24+16-8t+t^2=t^2，20=8t20=8t，t=52t=\dfrac{5}{2}。答案為 52\dfrac{5}{2}。
答案
52\dfrac{5}{2}

關鍵觀念：#摺紙對稱 #全等三角形 #等腰三角形 #畢氏定理

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常見卡點
摺紙題先把翻過去的那一半和原來的標成全等：AE 等於 AD 等於四、EC 等於 DC 等於二。接著用內錯角把摺出來的角搬回底邊，才看得出三角形 PAC 兩個底角相等、PA 等於 PC。最常見的錯是以為 P 剛好是 BC 的中點，把 BP 和 PC 都寫成二，算出 AP 等於根號八。

還是卡住嗎？

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