111學年鷺江國中第1次段考數學 第5題 詳解

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把比換成分率

   由 $\overline{AD}:\overline{DB}=2:3$ 得 $\overline{DB}:\overline{AB}=3:5$、$\overline{AD}:\overline{AB}=2:5$。由 $\overline{CE}:\overline{EB}=2:3$ 得 $\overline{EB}:\overline{CB}=3:5$。兩個三角形都先跟大三角形 $ABC$ 比，最後再相除。 順帶一提，由 $\overline{BD}:\overline{BA}=\overline{BE}:\overline{BC}=3:5$ 可知 $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$，所以 $\triangle BDE\sim\triangle BAC$、相似比 $3:5$、面積比 $\dfrac{9}{25}$——這條路完全落在本章的平行線截比例線段與相似形面積比裡。
2. 2

   算 DBE 佔的比例

   $\triangle DBE$ 與 $\triangle ABC$ 共用 $\angle B$，夾這個角的兩邊分別是 $\overline{DB}$ 對 $\overline{AB}$、$\overline{EB}$ 對 $\overline{CB}$。夾同一個角的兩個三角形，面積比等於兩組夾邊比的乘積，所以 $\dfrac{\triangle DBE}{\triangle ABC}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$。
3. 3

   算 ADC 佔的比例

   $\triangle ADC$ 與 $\triangle ABC$ 分別以 $\overline{AD}$、$\overline{AB}$ 為底，而從 $C$ 到直線 $AB$ 的高是同一條。等高的三角形面積比等於底邊比，所以 $\dfrac{\triangle ADC}{\triangle ABC}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\dfrac{2}{5}$。
4. 4

   兩個比值相除

   $\dfrac{\triangle DBE}{\triangle ADC}=\dfrac{9}{25}\div\dfrac{2}{5}=\dfrac{9}{25}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{10}$。故選 (B)。 (D) 的 $\dfrac{3}{5}$ 是比錯了三角形：$\triangle DBE$ 和 $\triangle DBC$ 同樣以 $D$ 為頂點、底都在 $\overline{BC}$ 上，等高底比是 $\overline{EB}:\overline{BC}=3:5$。但題目要比的是 $\overline{DC}$ 另一側的 $\triangle ADC$，不是 $\triangle DBC$。

關鍵觀念：#三角形面積比 #相似形

同主題一起複習：平面幾何 →