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111學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

內心求角度 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，II點為△DEF\triangle DEF的內心，∠EFD=40°\angle EFD=40°，∠E=80°\angle E=80°，求∠DIF=?\angle DIF=? (A) 130°130° (B) 120°120° (C) 100°100° (D) 90°90°。
三角形DEF，頂點D在上方，E在左下、F在右下；三邊DE、EF都畫出。內部有一點I（內心），另畫出線段DI與IF；DI的方向與DF邊十分接近、幾乎重疊，兩段線看起來像一條微彎的線，用以標示待求的∠DIF。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先補出第三個角

    圖中 △DEF\triangle DEF 的三個頂點是 DD（左上）、EE（左下）、FF（中右，與 EE 幾乎同高）。已知 ∠EFD=40°\angle EFD=40°、∠E=80°\angle E=80°，由三角形內角和得 ∠EDF=180°−80°−40°=60°\angle EDF=180°-80°-40°=60°。
  2. 2

    內心就是角平分線交點

    II 是 △DEF\triangle DEF 的內心，所以 DI‾\overline{DI} 平分 ∠EDF\angle EDF、FI‾\overline{FI} 平分 ∠EFD\angle EFD。因此在 △DIF\triangle DIF 中，∠IDF=60°2=30°\angle IDF=\dfrac{60°}{2}=30°，∠IFD=40°2=20°\angle IFD=\dfrac{40°}{2}=20°。
  3. 3

    在小三角形裡收尾

    圖上畫出的 DI‾\overline{DI} 與 IF‾\overline{IF} 加上 DF‾\overline{DF} 就構成 △DIF\triangle DIF。由三角形內角和，∠DIF=180°−∠IDF−∠IFD=180°−30°−20°=130°\angle DIF=180°-\angle IDF-\angle IFD=180°-30°-20°=130°。這也解釋了圖上為什麼 DD、II、FF 看起來像一條微彎的線：130°130° 已經很接近平角了。
  4. 4

    用公式再驗一次

    內心有個常用的角度公式：∠DIF=90°+∠E2\angle DIF=90°+\dfrac{\angle E}{2}。要注意公式裡加的是「沒有被 II 連到的那個頂點」的一半；這題 II 連的是 DD 和 FF，剩下的頂點才是 EE，所以代 ∠E=80°\angle E=80°，得 90°+40°=130°90°+40°=130°，與上面一致。若不小心代成 ∠D=60°\angle D=60°，會算出 90°+30°=120°90°+30°=120°，那並不是所求。∠DIF=130°\angle DIF=130°，故選 (A)。 另外，若把 ∠DIF\angle DIF 誤當成 ∠D\angle D 與 ∠F\angle F 的和（那是三角形外角才有的性質），會算出 60∘+40∘=100∘60^\circ+40^\circ=100^\circ，也在選項裡。
答案
(A)

關鍵觀念：#內心 #角度計算

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常見卡點
公式 ∠DIF=90°+∠E2\angle DIF=90°+\dfrac{\angle E}{2} 很好用，但最常見的失誤是代錯角：要加的是「沒被內心連到的那一個頂角」的一半。這題若把 ∠D=60°\angle D=60° 代進去會得到 120°120°，剛好也在選項裡。保險的作法是不要急著套公式，先把 ∠IDF=30°\angle IDF=30°、∠IFD=20°\angle IFD=20° 老實算出來，再用 △DIF\triangle DIF 的內角和收尾，這樣既不必背公式，也不會對錯角。

還是卡住嗎？

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