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111學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

等腰三角形連續摺兩次求面積 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖(一)，△ABC\triangle ABC為等腰三角形，AB‾=AC‾=13\overline{AB}=\overline{AC}=13，BC‾=10\overline{BC}=10。
(1)將AB‾\overline{AB}向AC‾\overline{AC}方向摺過去，使得AB‾\overline{AB}與AC‾\overline{AC}重合，出現摺線AD‾\overline{AD}，如圖(二)
(2)將CD‾\overline{CD}向AC‾\overline{AC}方向摺過去，如圖(三)，使得CD‾\overline{CD}完全疊合在AC‾\overline{AC}上，出現摺線CE‾\overline{CE}，如圖(四)。則△AEC\triangle AEC的面積為何？
(A) 1515
(B) 2020
(C) 654\dfrac{65}{4}
(D) 653\dfrac{65}{3}
四格摺紙流程圖，由左至右為圖(一)~圖(四)，每格之間有向右的粗箭頭。圖(一)：等腰三角形 $ABC$，$A$ 在上、$B$ 左下、$C$ 右下，$D$ 在 $\overline{BC}$ 上，畫出鉛直的 $\overline{AD}$，並有一個往右彎的箭頭表示沿 $\overline{AD}$ 對摺。圖(二)：摺後剩右半，頂點標 $A$、左下 $D$、右下 $C$。圖(三)：左側邊上多出一點 $E$，並有一個往右彎的箭頭表示第二次摺。圖(四)：$A$ 在上、$E$ 在左、$D$ 在左下、$C$ 在右下，右上另有一個 $D$（摺過去之後的 $D$，即 $D'$），alt 原本漏掉這一個。

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    第一摺給了什麼

    把 AB‾\overline{AB} 摺到 AC‾\overline{AC} 上，摺線 AD‾\overline{AD} 就是 ∠A\angle A 的角平分線。等腰三角形三線合一，AD‾\overline{AD} 同時是底邊 BC‾\overline{BC} 的中垂線，所以 BD‾=DC‾=5\overline{BD}=\overline{DC}=5 且 AD‾⊥BC‾\overline{AD}\perp\overline{BC}。由畢氏定理 AD‾=132−52=169−25=12\overline{AD}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12。
  2. 2

    鎖定圖二這個直角三角形

    圖(二)的 △ADC\triangle ADC 中 ∠ADC=90°\angle ADC=90°、AD‾=12\overline{AD}=12、DC‾=5\overline{DC}=5、AC‾=13\overline{AC}=13，面積 =12×12×5=30=\frac{1}{2}\times12\times5=30。後面兩小題都在這個三角形裡處理。
  3. 3

    第二摺給了什麼

    把 CD‾\overline{CD} 摺到 CA‾\overline{CA} 上，摺線是 CE‾\overline{CE}（EE 在 AD‾\overline{AD} 上）。摺過去時 DD 落到 CA‾\overline{CA} 上的 D′D'，而且 ED‾=ED′‾\overline{ED}=\overline{ED'}、∠ED′C=∠EDC=90°\angle ED'C=\angle EDC=90°。也就是說，EE 到 AC‾\overline{AC} 的距離恰好等於 ED‾\overline{ED}。
  4. 4

    設高列面積式

    設 ED‾=h\overline{ED}=h。△AEC\triangle AEC 以 AC‾=13\overline{AC}=13 為底、高為 hh，面積 =12×13×h=\frac{1}{2}\times13\times h；△DEC\triangle DEC 以 DC‾=5\overline{DC}=5 為底、高為 ED‾=h\overline{ED}=h，面積 =12×5×h=\frac{1}{2}\times5\times h。
  5. 5

    把兩塊加起來解 h

    △AEC\triangle AEC 與 △DEC\triangle DEC 合起來就是 △ADC\triangle ADC：12×13h+12×5h=30\frac{1}{2}\times13h+\frac{1}{2}\times5h=30，即 9h=309h=30，h=103h=\frac{10}{3}。
  6. 6

    算出答案

    △AEC\triangle AEC 的面積 =12×13×103=1306=653=\frac{1}{2}\times13\times\frac{10}{3}=\frac{130}{6}=\frac{65}{3}。故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#等腰三角形 #摺紙全等 #三角形面積

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常見卡點
摺紙題只給你三件事：摺線兩側全等、對應邊相等、對應角相等。第二摺真正有用的是「EE 到 AC‾\overline{AC} 的距離等於 ED‾\overline{ED}」，抓到這句才列得出式子。最常見的錯是以為摺線 CE‾\overline{CE} 把 △ADC\triangle ADC 分成面積相等的兩塊，直接寫 30÷2=1530\div2=15 而挑 (A)。其實兩塊的高一樣，底卻是 1313 和 55，面積比是 13:513:5，不會各半。

還是卡住嗎？

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