112學年新莊國中第3次段考數學 第22題 詳解

如右圖，已知直線$L$為$\overline{AB}$的中垂線，且直線$L$與$\overline{AB}$交於$M$點，$P$點在直線$L$的右側，
$\overline{PA}$與直線$L$交於$D$點，求證：$\overline{PA}>\overline{PB}$。

小柏的證明步驟如下：
$\because D$點在$\overline{AB}$的中垂線$L$上，$\therefore\overline{DA}=\overline{DB}$且$\angle A=\angle1$
$\because\angle PBA>\angle1$，$\therefore\angle PBA>\angle A$
根據三角形大角對大邊性質，
$\triangle PAB$中，$\angle PBA>\angle A$，因此$\overline{PA}>\overline{PB}$得證

阿叡的證明步驟如下：
$\because\overline{AM}=\overline{BM}$，$\angle DMA=\angle DMB=90°$，$\overline{DM}=\overline{DM}$
$\therefore\triangle ADM\cong\triangle BDM$（SAS全等性質），得$\overline{DA}=\overline{DB}$
$\triangle PDB$中，$\overline{PD}+\overline{DB}>\overline{PB}$(三角形兩邊之和大於第三邊)
故$\overline{PA}=\overline{PD}+\overline{DA}=\overline{PD}+\overline{DB}>\overline{PB}$得證

對於兩人的證明步驟，下列判斷何者正確？

(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆有錯誤
(C) 小柏正確，阿叡有錯誤
(D) 小柏有錯誤，阿叡正確