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113學年鷺江國中第3次段考數學 第21題 詳解

菱形對角線求周長 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，四邊形 ABCDABCD 為一菱形，若 AC‾=16\overline{AC}=16、BD‾=30\overline{BD}=30，則其周長為？
菱形 ABCD，A 在上、B 在左、C 在下、D 在右；兩條對角線 AC（鉛直）與 BD（水平）皆以實線畫出，相交於中心（交點未標字母），BD 明顯比 AC 長。圖上未標示任何長度數字。

答案6868看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用菱形對角線

    菱形的兩條對角線互相垂直平分。設交點為 OO，則 AO‾=OC‾=162=8\overline{AO}=\overline{OC}=\dfrac{16}{2}=8，BO‾=OD‾=302=15\overline{BO}=\overline{OD}=\dfrac{30}{2}=15，而且 AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD}。
  2. 2

    算出邊長

    △AOB\triangle AOB 是直角三角形，兩股為 88 與 1515，由畢氏定理得 AB‾=82+152=64+225=289=17\overline{AB}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17。
  3. 3

    求周長

    菱形四邊等長，所以周長 =4×17=68=4\times17=68。
答案
6868

關鍵觀念：#菱形性質 #畢氏定理

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常見卡點
最常見的錯是忘了先把對角線對半分，直接用 162+302=1156=34\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{1156}=34 當邊長，周長就變成 4×34=1364\times34=136。對角線是「互相平分」，直角三角形的兩股是 88 和 1515，不是 1616 和 3030。另一個錯是把兩條對角線相乘再除以二的 16×302=240\dfrac{16\times30}{2}=240 當答案——那是菱形的面積，不是周長，看清楚題目問什麼再動筆。

還是卡住嗎？

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