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113學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

箏形對角線求值 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，四邊形 ABCDABCD 為一箏形，其中 AB‾<BC‾\overline{AB}<\overline{BC}，若 AB‾=6\overline{AB}=6，CD‾=8\overline{CD}=8，且 ∠ABC=90°\angle ABC=90°，則 BD‾=\overline{BD}=？
箏形 $ABCD$，$A$ 在上、$B$ 在左、$D$ 在右、$C$ 在下方（$C$ 距 $B$、$D$ 較遠，箏形較長的一側朝下）；對角線 $\overline{AC}$（垂直）與 $\overline{BD}$（水平）相交。圖上未標示任何角度或長度數字。

答案9.69.6（或 485\dfrac{48}{5}）看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    認出等邊的組別

    圖上 AA 在上、CC 在下、BB 與 DD 分別在左右，對稱軸是 AC‾\overline{AC}。所以等長的是 AB‾=AD‾\overline{AB}=\overline{AD} 與 CB‾=CD‾\overline{CB}=\overline{CD}。由 AB‾=6\overline{AB}=6 得 AD‾=6\overline{AD}=6，由 CD‾=8\overline{CD}=8 得 CB‾=8\overline{CB}=8，恰好符合 AB‾<BC‾\overline{AB}<\overline{BC}。
  2. 2

    求對角線AC

    ∠ABC=90°\angle ABC=90°，所以 △ABC\triangle ABC 是直角三角形，兩股為 AB‾=6\overline{AB}=6、BC‾=8\overline{BC}=8，AC‾=62+82=36+64=100=10\overline{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10。
  3. 3

    用面積求高

    設 BD‾\overline{BD} 與 AC‾\overline{AC} 交於 MM。箏形的兩條對角線互相垂直，所以 BM‾\overline{BM} 就是 △ABC\triangle ABC 中 AC‾\overline{AC} 邊上的高。用兩種方式算同一個三角形的面積：12×6×8=12×10×BM‾\dfrac{1}{2}\times6\times8=\dfrac{1}{2}\times10\times\overline{BM}，得 BM‾=4810=4.8\overline{BM}=\dfrac{48}{10}=4.8。
  4. 4

    對稱軸平分BD

    箏形的對稱軸 AC‾\overline{AC} 會把另一條對角線 BD‾\overline{BD} 平分，所以 BD‾=2×4.8=9.6\overline{BD}=2\times4.8=9.6，也就是 485\dfrac{48}{5}。
答案
9.69.6（或 485\dfrac{48}{5}）

關鍵觀念：#箏形性質 #畢氏定理

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常見卡點
第一關就是別把箏形的等邊配錯組：若誤以為 AB‾=BC‾\overline{AB}=\overline{BC}，馬上就和 AB‾<BC‾\overline{AB}<\overline{BC} 的條件打架。AA、CC 是對稱軸上的兩個頂點，等長的是 AB‾\overline{AB} 與 AD‾\overline{AD}、CB‾\overline{CB} 與 CD‾\overline{CD}。第二關是算出 BM‾=4.8\overline{BM}=4.8 就直接填 4.84.8，忘了 BD‾\overline{BD} 是它的兩倍。也有人以為對角線等長而填 1010——那是長方形那一系才有的性質。

還是卡住嗎？

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