111分科測驗物理 第20題 詳解

2021 年 12 月發射的 James Webb 太空望遠鏡（JWST）主要用於紅外線天文學的研究，是目前太空中最強大的望遠鏡，它的溫度必須保持低於 50 K，才可在不受其他熱輻射源的干擾下觀察微弱的紅外線信號。JWST 的位置靠近日—地系統的拉格朗日點 $L_2$，此為日—地連心線上的定點，位於地球公轉軌道外側，如圖 10 所示，其中實線的圓弧與圓分別代表地球與月球的公轉軌道。已知在 $L_2$ 點的小物體，受到日—地系統的重力，可與地球同步繞日—地系統的質心公轉。

假設只考慮來自日、地的重力，日—地的距離近似為定值 $R$，日、地的質量分別為 $M$、$m$，地心到 $L_2$ 的距離為 $r$，重力常數為 $G$，日—地系統繞其質心 $C$ 轉動的角速率為 $\omega$。注意：只有日—地系統的質心 $C$ 可視為靜止，日、地與 $L_2$ 處的小物體均繞 $C$ 以角速率 $\omega$ 做圓周運動。

承第 19 題，地心到 $L_2$ 的距離 $r$ 滿足下列何者？（單選）
(A) $G\left[\dfrac{M}{(R+r)^2}+\dfrac{m}{r^2}\right]=\left(\dfrac{MR}{M+m}+r\right)\omega^2$
(B) $G\left[\dfrac{M}{(R+r)^2}+\dfrac{m}{r^2}\right]=R\omega^2$
(C) $G\left[\dfrac{M}{(R+r)^2}+\dfrac{m}{r^2}\right]=(R+r)\omega^2$
(D) $G\left[\dfrac{M}{(R+r)^2}+\dfrac{m}{r^2}\right]=r\omega^2$
(E) $G\left[\dfrac{M}{(R+r)^2}+\dfrac{m}{r^2}\right]=\left(\dfrac{mR}{M+m}+r\right)\omega^2$