114分科測驗物理 第5題 詳解

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逐步解析

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   考點與切入

   本題考萬有引力提供向心力（克卜勒第三定律的應用）。最有效率的切入是比例法：由衛星繞行星的等速圓周運動可推得行星質量 $M\propto \dfrac{r^3}{T^2}$，直接拿土星與地球的資料相除，不必代入重力常數 $G$；距離用公里也無妨，因為取比值時單位會消掉。
2. 2

   衛星測行星

   設衛星質量 $m$、軌道半徑 $r$、週期 $T$，行星質量 $M$。引力提供向心力：$\dfrac{GMm}{r^2}=m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 r$，整理得 $M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$。注意衛星質量 $m$ 被消去：行星質量只由「衛星的軌道半徑與週期」決定，題目給的月球與泰坦質量都是用不到的干擾資訊。
3. 3

   比例計算

   $\dfrac{M_{土}}{M_{地}}=\left(\dfrac{r_{土}}{r_{地}}\right)^3\left(\dfrac{T_{地}}{T_{土}}\right)^2=\left(\dfrac{1.2\times10^{6}}{3.6\times10^{5}}\right)^3\times\left(\dfrac{28}{14}\right)^2=\left(\dfrac{10}{3}\right)^3\times 2^2=\dfrac{1000}{27}\times4\approx148$。
4. 4

   量級與結論

   $M_{土}\approx148\times6.0\times10^{24}\approx8.9\times10^{26}\ \mathrm{kg}$，最接近 $10^{27}\ \mathrm{kg}$，答案選 (C)。最誘答的是 (B)：把週期比放反、寫成 $\left(\dfrac{14}{28}\right)^2$，會得到約 $5.6\times10^{25}$ 而誤選 (B)。記住 $M\propto \dfrac{r^3}{T^2}$ 中 $T$ 在分母：泰坦週期較短、軌道又較大，土星質量必定遠大於地球。

關鍵觀念：#萬有引力 #向心力 #開普勒第三定律

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