114分科測驗物理 第5題 詳解

衛星推行星質量 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 物理 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓觀念

   這題在考「衛星繞行星做等速圓周運動時，萬有引力提供向心力」。所以只要知道衛星的週期 $T$ 和軌道半徑 $r$，就能反推出行星質量 $M$。核心關係式是
   $$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}$$
   把衛星質量 $m$ 約掉後，可得
   $$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$$
   這就是本題的主軸：用衛星資料估算土星質量。
2. 2

   先看地球資料

   先用地球資料建立比例感。地球的月球週期約 $28\,\text{day}$，平均距離約 $3.6\times10^5\,\text{km}$。若用上式估算地球質量，會得到和題目給的 $6.0\times10^{24}\,\text{kg}$ 同量級，表示這個模型可用。重點是：同一公式也可直接拿來比地球與土星，不必真的算出 $G$。
3. 3

   利用比例直接比

   由
   $$M\propto \frac{r^3}{T^2}$$
   可得土星與地球的質量比
   $$\frac{M_S}{M_E}=\left(\frac{r_S}{r_E}\right)^3\left(\frac{T_E}{T_S}\right)^2$$
   代入數據：
   $$\frac{r_S}{r_E}=\frac{1.2\times10^6}{3.6\times10^5}=\frac{10}{3}$$
   $$\frac{T_E}{T_S}=\frac{28}{14}=2$$
   所以
   $$\frac{M_S}{M_E}=\left(\frac{10}{3}\right)^3\times 2^2\approx 37\times 4\approx 1.5\times10^2$$
4. 4

   算出土星質量

   地球質量約為 $6.0\times10^{24}\,\text{kg}$，因此
   $$M_S\approx 1.5\times10^2\times 6.0\times10^{24}\approx 9\times10^{26}\,\text{kg}$$
   取一位有效數字約為
   $$10^{27}\,\text{kg}$$
5. 5

   對應選項

   因此土星質量約為 $10^{27}\,\text{kg}$，選項是
   **(C)**。

關鍵觀念：#萬有引力 #向心力 #開普勒第三定律