114分科測驗物理 第6題 詳解

單擺・相位 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 物理 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   題目在考什麼

   這題在考小角度單擺的簡諧運動相位判斷。關鍵不是直接算位移大小，而是先求週期 $T$，再看從「通過平衡位置且由左往右」開始，過了 $1.5\ \text{s}$ 之後，擺錘在振動週期中的哪一段，進而判斷速度方向與速率是變大還變小。
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   先算單擺週期

   小角度單擺週期為 $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$。代入 $L=0.20\ \text{m}$、$g=9.8\ \text{m/s}^2$：
   $$T=2\pi\sqrt{\frac{0.20}{9.8}}\approx 2\pi\sqrt{0.0204}\approx 2\pi(0.143)\approx 0.90\ \text{s}$$
   所以 $1.5\ \text{s}$ 約等於 $\frac{1.5}{0.90}\approx 1.67T$，也就是經過了 $1$ 個整週期再多 $\frac{2}{3}T$。
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   把起點放進相位

   題目說「擺錘由左向右經過平衡位置時開始計時」，表示 $t=0$ 時：
   - 位置在平衡點
   - 速度向右
   - 速率最大
   
   若令平衡點為 $x=0$，可寫成簡諧運動的一種相位：$x=A\sin(\omega t)$，則 $t=0$ 時確實有 $x=0$ 且 $v>0$。在一個週期內：
   - $t=0$：在平衡點，向右
   - $t=\frac{T}{4}$：到最右端，瞬間速度為零
   - $t=\frac{T}{2}$：回到平衡點，向左
   - $t=\frac{3T}{4}$：到最左端，瞬間速度為零
   - $t=T$：回到原狀態
   
   現在 $1.5\ \text{s}\approx 1.67T$，等效於再往前看 $0.67T\approx \frac{2}{3}T$。從 $t=0$ 往後第 $\frac{2}{3}T$，位置已經超過平衡點往左側移動，且是在「由右端往左端」的回程區間中，因此速度方向向左。
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   判斷速率變化

   簡諧運動中，速率大小與離平衡位置的遠近有關：
   - 靠近平衡點，速率變大
   - 遠離平衡點，速率變小
   - 到端點時速率最小，為零
   
   由上一步可知，經過 $1.5\ \text{s}$ 時，擺錘位於由右端往左端回來的途中，且已經在往左接近左端的路上。此時它的速度方向是向左，但因為正在遠離平衡位置、接近左端，所以速率正在減少。
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   逐項判析

   逐一檢查選項：
   - (A) 擺錘向左運動且速率增加：方向雖可能對，但此刻是在往左端移動、遠離平衡位置，速率應減少，錯。
   - (B) 擺錘向左運動且速率減少：方向向左，且正在接近左端，速率減少，對。
   - (C) 擺錘向右運動且速率減少：方向不對，錯。
   - (D) 擺錘向右運動且速率增加：方向不對，錯。
   - (E) 擺錘向左作等速運動：簡諧運動速率不可能全程等速，且此刻也不是等速，錯。
   
   因此正確答案是 $\boxed{\text{B}}$。

關鍵觀念：#簡諧運動 #週期 #相位差