114分科測驗物理 第12題 詳解

波耳模型・能階半徑 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 物理 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓核心觀念

   這題在考波耳氫原子模型的兩個基本結論：$n$ 越大，電子軌道半徑越大，而且能量 $E_n\propto \dfrac{1}{n^2}$；另外，束縛在原子中的電子滿足 $K=-E$、$U=2E$，所以總能量是負值。題目要你同時分辨「能量隨 $n$ 的變化」與「位能、動能在躍遷時的變化關係」。
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   套用波耳公式

   已知基態 $n=1$ 時，半徑為 $R$，能量為 $E$。波耳模型給出$\displaystyle r_n=n^2R$，所以 $n=3$ 時半徑是 $r_3=3^2R=9R$。能量則是$\displaystyle E_n=\frac{E}{n^2}$，所以 $n=3$ 時 $E_3=\dfrac{E}{9}$。
3. 3

   逐一判析選項

   (A) 電子在 $n=3$ 軌道的能量為 $E/3$：錯。應為 $E_3=E/9$，不是 $E/3$。
   
   (B) 電子在 $n=3$ 軌道的半徑為 $6R$：錯。由 $r_n=n^2R$，應為 $9R$。
   
   (C) 電子在 $n=3$ 軌道的半徑為 $3R$：錯。半徑不是和 $n$ 成正比，而是和 $n^2$ 成正比。
   
   (D) 電子從 $n=3$ 躍遷到 $n=1$ 時，其位能和動能的總和保持不變：錯。躍遷前後總能量改變，因為電子吸收或放出光子，系統能量必須改變；而且在不同軌道上，$K$ 與 $U$ 都會變。
   
   (E) 電子從 $n=3$ 躍遷到 $n=1$ 時，其位能減少的絕對值大於動能增加的絕對值：對。因為原子中 $K=-E$、$U=2E$。從 $n=3$ 到 $n=1$，總能量變得更負，表示位能下降幅度比動能上升幅度更大；兩者合起來才會讓總能量減少，並放出光子。
4. 4

   用能量關係看 E 選項

   對氫原子束縛態，依維里定理可得$K=-E$、$U=2E$，因此$\Delta E=\Delta K+\Delta U$。因為 $E<0$，從 $n=3\to n=1$ 時總能量變得更低：$E_1<E_3<0$。故 $\Delta E<0$，代表放出能量。若比較 $\Delta U$ 與 $\Delta K$，由於 $U=2E$ 的係數是動能關係的兩倍，所以位能的改變量幅度會大於動能的改變量幅度，這正符合 (E)。
5. 5

   收斂到正確答案

   因此，選項中只有 $\boxed{(E)}$ 正確。

關鍵觀念：#波耳原子模型 #能階量子化 #庫侖力 #位能與動能