114分科測驗物理 第12題 詳解

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逐步解析

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   考點切入

   本題考波耳氫原子模型的兩條標度律：軌道半徑 $r_n = n^2 R$、力學能 $E_n = \dfrac{E}{n^2}$（$E < 0$），以及圓軌道上的固定能量關係：動能 $K_n = -E_n$、電位能 $U_n = 2E_n$。切入順序：先用標度律秒殺 (A)(B)(C)，再用能量關係定量處理 (D)(E)。
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   判 (A)(B)(C)

   $n = 3$ 時：$E_3 = \dfrac{E}{3^2} = \dfrac{E}{9}$，不是 $\dfrac{E}{3}$，(A) 錯。$r_3 = 3^2 R = 9R$，既不是 $6R$ 也不是 $3R$，(B)(C) 皆錯。這三個選項都是把「平方」記成「一次方」或亂湊倍數的陷阱。
3. 3

   判 (D)

   電位能和動能的總和就是電子的力學能 $E_n = U_n + K_n$。從 $n=3$ 躍遷到 $n=1$ 時會放出一顆光子，力學能由 $E_3 = \dfrac{E}{9}$ 降為 $E_1 = E$（$E<0$，變得更負），共減少 $\dfrac{8|E|}{9}$，並非保持不變，(D) 錯。這是最誘答的選項——把「能量守恆」誤解成電子自身的力學能不變，忘了光子把能量帶走了。
4. 4

   定量算 (E)

   電位能 $U_n = 2E_n$：由 $U_3 = \dfrac{2E}{9}$ 變為 $U_1 = 2E$，因 $E<0$，減少量為 $\left|2E - \dfrac{2E}{9}\right| = \dfrac{16|E|}{9}$。動能 $K_n = -E_n$：由 $K_3 = \dfrac{|E|}{9}$ 增為 $K_1 = |E|$，增加量為 $\dfrac{8|E|}{9}$。比較：$\dfrac{16|E|}{9} > \dfrac{8|E|}{9}$，電位能減少的絕對值確實大於動能增加的絕對值，(E) 正確。
5. 5

   驗算結論

   能量收支檢查：電位能少掉的 $\dfrac{16|E|}{9}$ 恰好一半變成動能增加量 $\dfrac{8|E|}{9}$，另一半變成光子能量 $E_3 - E_1 = \dfrac{E}{9} - E = \dfrac{8|E|}{9}$，收支完全平衡，這正是波耳模型中位力定理的必然結果。答案選 (E)。

關鍵觀念：#波耳原子模型 #能階量子化 #庫侖力 #位能與動能

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