114分科測驗物理 第14題 詳解

碰撞・相對速率 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 物理 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   題意拆解

   這題在考一維正面碰撞時，$\text{動量守恆}$ 和 $\text{彈性碰撞的相對速率守恆}$。已知一開始有一木塊靜止，另一木塊以速率 $v$ 前進，碰後速度分別為 $v_1$ 與 $v_2$。要判斷各選項對不對，關鍵不是只看「有沒有彈性」，而是要看碰後速度是否可能為零、以及碰後兩物體的相對速度變化。
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   先看共同條件

   設兩木塊質量分別為 $m_1$ 與 $m_2$，且 $m_1 eq m_2$。碰前：$m_1$ 以速率 $v$ 運動，$m_2$ 靜止。若碰後速度為 $v_1$、$v_2$，由動量守恆得
   $$m_1 v = m_1 v_1 + m_2 v_2.$$
   如果某個碰後速度剛好等於零，仍然不會違反動量守恆；所以光靠「動量守恆」不能直接斷定兩個速度一定都不為零。這點是判斷 (A) 的第一個關鍵。
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   逐項判析：A、B

   (A)「無論是否彈性碰撞，碰後 $v_1$ 與 $v_2$ 皆不為零」：錯。因為在非彈性碰撞中，可能出現其中一木塊碰後瞬間停下，例如某些特殊質量比下，一個物體可被撞到速度為零，所以不能說一定都非零。
   
   (B)「若為彈性碰撞，則碰後 $v_1$ 與 $v_2$ 皆不為零」：對。彈性碰撞除動量守恆外，還有動能守恆。對一維正碰且其中一物體原本靜止、且兩質量不同的情況，兩者碰後速度可寫成
   $$v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v,\qquad v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v.$$
   因為 $m_1 eq m_2$，所以 $v_1 eq 0$；而 $m_1, m_2, v$ 都是正值，所以 $v_2 eq 0$。因此 (B) 正確。
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   逐項判析：C

   (C)「若為彈性碰撞，則 $|v_1-v_2|=v$」：對。這其實是彈性碰撞最重要的特徵之一：一維碰撞中，相對速率反向且大小相等，也就是
   $$\text{碰前相對速率}=\text{碰後相對速率}.$$
   碰前兩木塊的相對速率是 $v-0=v$。因此碰後必有
   $$|v_1-v_2|=v.$$
   若更精確地寫成速度方向形式，則是
   $$v_1-v_2=-(v-0).$$
   所以 (C) 正確。
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   逐項判析：D、E

   (D)「若為非彈性碰撞，則 $|v_1-v_2|$ 必不為零」：錯。非彈性碰撞時，相對速率會減少，不一定非零；若是完全非彈性碰撞，兩木塊碰後黏在一起，則 $v_1=v_2$，所以
   $$|v_1-v_2|=0.$$
   因此 (D) 錯。
   
   (E)「若為非彈性碰撞，則 $|v_1-v_2|$ 必大於 $v$」：錯。非彈性碰撞會使相對速率變小，不可能比碰前的 $v$ 還大，更不會必然大於 $v$。所以 (E) 也錯。
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   收束到正確答案

   綜合判斷：
   - (A) 錯
   - (B) 對
   - (C) 對
   - (D) 錯
   - (E) 錯
   
   所以正確選項為 $\boxed{BC}$。

關鍵觀念：#動量守恆 #彈性碰撞 #相對速度