109學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

答案(1) $30$ (2) $1$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把已知寫成式子

   設甲的邊長是 $a$、乙的邊長是 $b$。邊長和是 $11$，就是 $a+b=11$；正方形面積等於邊長平方，面積和是 $61$，就是 $a^2+b^2=61$。
2. 2

   用和的平方求積

   由完全平方公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把已知代進去：$11^2=61+2ab$，即 $121-61=2ab$，$2ab=60$，所以 $ab=30$。第(1)小題的邊長之積是 $30$。
3. 3

   用差的平方求差

   再用 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。代入已知：$(a-b)^2=61-2\times30=61-60=1$。平方後等於 $1$ 的數是 $\pm1$，而邊長之差取正的那個，所以第(2)小題的邊長之差是 $1$。
4. 4

   回頭驗算

   由 $a+b=11$ 和 $a-b=1$ 可得 $a=6$、$b=5$。檢查：$6+5=11$、$6^2+5^2=36+25=61$、$6\times5=30$、$6-5=1$，題目給的條件和兩個小題的答案全部吻合。

關鍵觀念：#完全平方公式 #邊長與面積關係