110學年鷺江國中第3次段考數學 第1題 詳解

逐步解析

1. 1

   先看兩邊和

   設三角形三邊長為 $a$、$b$、$c$，三頂點為 $A$、$B$、$C$。從 $A$ 直接走到 $B$ 是線段 $\overline{AB}=c$；如果先繞到 $C$ 再走到 $B$，路徑長變成 $b+a$。兩點之間以線段最短，所以 $a+b>c$，同理 $b+c>a$、$c+a>b$。
2. 2

   再推兩邊差

   把 $a+b>c$ 移項，得到 $a>c-b$，也就是 $c-b<a$；由 $b+c>a$ 移項則得 $c-a<b$。可見「任意兩邊的差小於第三邊」其實是「任意兩邊的和大於第三邊」移項後的另一種說法，並不需要額外條件。
3. 3

   用數字檢查

   取 $a=3$、$b=4$、$c=5$：和的部分 $3+4=7>5$、$4+5=9>3$、$5+3=8>4$ 都成立；差的部分 $4-3=1<5$、$5-4=1<3$、$5-3=2<4$ 也都成立。實際代入後兩句敘述都通過。
4. 4

   下結論

   課本把三角形三邊關係寫成 $|b-c|<a<b+c$，題目這句話正是把這個不等式的右半（兩邊和）與左半（兩邊差）各敘述一次。兩句都正確，故本敘述正確，答 ○。

關鍵觀念：#三角形三邊關係