111學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把新分數寫出來

   $\dfrac{15}{7}$ 的分子和分母同時減去 $x$，新分數是 $\dfrac{15-x}{7-x}$。題目要它的值大於 $\dfrac{7}{2}$，也就是 $\dfrac{15-x}{7-x}>\dfrac{7}{2}$。
2. 2

   先討論分母的正負

   要交叉相乘之前，必須先確定分母 $7-x$ 的正負，因為乘上負數會讓不等號變號。$x$ 是正整數，所以分成兩種情形：當 $x<7$ 時 $7-x>0$；當 $x>7$ 時 $7-x<0$；$x=7$ 時分母為 $0$，分數沒有意義，要排除。
3. 3

   分母為正的情形

   當 $x<7$ 時，兩邊同乘以正數 $2(7-x)$，方向不變：$2(15-x)>7(7-x)$，展開得 $30-2x>49-7x$。移項得 $7x-2x>49-30$，即 $5x>19$，所以 $x>3.8$。配合 $x<7$ 且 $x$ 為正整數，可以取 $4$、$5$、$6$。
4. 4

   分母為負的情形

   當 $x>7$ 時，$7-x<0$，兩邊同乘以負數 $2(7-x)$ 必須變號：$2(15-x)<7(7-x)$，整理得 $5x<19$，即 $x<3.8$。這和 $x>7$ 互相矛盾，所以這一段完全沒有解。
5. 5

   取出最小的正整數並驗算

   兩種情形合起來，符合條件的正整數是 $4$、$5$、$6$，最小的是 $x=4$。驗算：$x=4$ 時新分數是 $\dfrac{11}{3}$，$\dfrac{11}{3}\approx3.67$，確實大於 $\dfrac{7}{2}=3.5$。再看 $x=3$：新分數是 $\dfrac{12}{4}=3$，比 $3.5$ 小，不合。所以答案是 $x=4$。

關鍵觀念：#分數不等式 #一元一次不等式應用