112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第23題 詳解

答案M＝$35$，N＝$25$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把角的條件換成邊

   設 $\overline{AB}=c$、$\overline{BC}=a$、$\overline{CA}=b$，三者都是正整數且 $c+a=18$。$\angle C$ 的對邊是 $\overline{AB}=c$，大角對大邊，所以「$\angle C$ 是最小角」等同於「$c$ 是最小邊」，也就是 $c\le a$ 且 $c\le b$。
2. 2

   周長只由一個邊決定

   周長 $=a+b+c=(a+c)+b=18+b$。所以求最大周長與最小周長，就是求 $b$ 的最大值與最小值。
3. 3

   求 b 的最大值

   三角形不等式要求 $b<a+c=18$，而 $b$ 是正整數，故 $b\le17$。取 $b=17$ 並搭配 $c=1$、$a=17$：三邊為 $1$、$17$、$17$，$1+17=18>17$ 可以圍成三角形，且最小邊是 $c=1$，$\angle C$ 確實最小。此時周長 $=18+17=35$，所以 $M=35$。
4. 4

   求 b 的最小值

   $b$ 被兩個條件壓住：一是 $c\le b$（$c$ 必須是最小邊），二是三角形不等式 $b>a-c=(18-c)-c=18-2c$。由 $c\le a$ 知 $c\le9$。$c$ 越小，$18-2c$ 這個下界就越大（$c=4$ 時已經要 $b\ge11$，比後面每一種都大），所以只要從 $c=5$ 往上試：$c=5$ 時 $b>8$ 且 $b\ge5$，最小取 $9$；$c=6$ 時 $b>6$ 且 $b\ge6$，最小取 $7$；$c=7$ 時 $b>4$ 且 $b\ge7$，最小取 $7$；$c=8$ 時 $b>2$ 且 $b\ge8$，最小取 $8$；$c=9$ 時 $b>0$ 且 $b\ge9$，最小取 $9$。整體最小值為 $b=7$。
5. 5

   驗證最小值並下結論

   取 $c=6$、$a=12$、$b=7$：$6+7=13>12$，可以圍成三角形；三邊中最小的是 $6=c$，所以 $\angle C$ 是最小角，條件全部滿足。周長 $=6+12+7=25$，所以 $N=25$。綜合兩段結果，$M=35$、$N=25$。

關鍵觀念：#三角形邊角關係 #整數邊長 #周長