112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   算出兩個面積

   正方形 $ABCD$ 的邊長 $\overline{AB}=20$，面積為 $20\times20=400$。$\triangle BCF$ 的面積是正方形的 $\dfrac{2}{5}$，即 $400\times\dfrac{2}{5}=160$。
2. 2

   找一個好比較的三角形

   $E$ 在 $\overline{AD}$ 上，而 $\overline{AD}//\overline{BC}$ 且兩者相距 $20$。以 $\overline{BC}$ 為底，$\triangle BCE$ 的高就是 $20$，所以 $\triangle BCE$ 的面積為 $\dfrac{1}{2}\times20\times20=200$。不論 $E$ 落在 $\overline{AD}$ 的哪裡，這個面積都是正方形的一半。
3. 3

   用同高三角形的面積比

   $F$ 在 $\overline{EC}$ 上，$\triangle BCF$ 與 $\triangle BCE$ 分別以 $\overline{CF}$、$\overline{CE}$ 為底，且共用頂點 $B$，高都是 $B$ 到直線 $EC$ 的距離，因此面積比等於底邊比：$\dfrac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\dfrac{160}{200}=\dfrac{4}{5}$。於是 $\overline{EF}=\overline{CE}-\overline{CF}=\dfrac{1}{5}\overline{CE}$，也就是 $\overline{CE}=5\,\overline{EF}$。
4. 4

   用畢氏定理列方程式

   設 $\overline{AE}=\overline{EF}=x$，則 $\overline{CE}=5x$、$\overline{ED}=\overline{AD}-\overline{AE}=20-x$。在直角三角形 $CDE$ 中，$\angle D=90^{\circ}$、$\overline{DC}=20$，由畢氏定理得 $(20-x)^{2}+20^{2}=(5x)^{2}$。
5. 5

   解方程式

   展開得 $400-40x+x^{2}+400=25x^{2}$，整理成 $24x^{2}+40x-800=0$，同除以 $8$ 得 $3x^{2}+5x-100=0$，因式分解為 $(3x+20)(x-5)=0$。長度為正，取 $x=5$。
6. 6

   求出 CF 並驗算

   $\overline{CE}=5x=25$，所以 $\overline{CF}=\overline{CE}-\overline{EF}=25-5=20$。驗算：$\overline{ED}=20-5=15$、$\overline{DC}=20$，$15^{2}+20^{2}=625=25^{2}$，$\overline{CE}=25$ 無誤；又 $\dfrac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$，故 $\triangle BCF$ 的面積為 $200\times\dfrac{4}{5}=160=400\times\dfrac{2}{5}$，完全吻合。因此 $\overline{CF}=20$。

關鍵觀念：#正方形 #三角形面積 #應用問題